时间序列分析：Ljung-Box Q 统计量

Author: nex3z 2019-07-24

　　为了对序列的自相关系数进行推断，Box 和 Pierce 提出了 Portmanteau 统计量

$$\begin{equation} Q^*(m) = T \sum_{i=1}^m r_i^2 \tag{1} \end{equation}$$

其中 $T$ 为序列长度，$r_i$ 为样本自相关系数。在某些情况下，$Q^*(m)$ 趋近于自由度为 $m$ 的 $\chi^2$ 分布，即

$$\begin{equation} Q^*(m) \sim \chi^2(m) \end{equation}$$

通过 Portmanteau 统计量可以对序列的 $m$ 个自相关系数进行推断，零假设和备择假设分别为

$$\begin{align} &H_0: \rho_1 = \rho_2 = \cdots = \rho_m = 0 \\ &H_1: \rho_i \neq 0 \end{align}$$

其中 $i \in \{1, 2, \cdots\}$。

　　Ljung 和 Box 改进了这一统计量，提高了对有限个样本进行检验的强度，称为 Ljung-Box Q 统计量，即

$$\begin{equation} Q(m) = T(T + 2) \sum_{l=1}^m \frac{r_i^2}{T-l} \tag{2} \end{equation}$$

通常取 $m = \ln(T)$，在 R 中可以使用 Box.text(data, lag=log(T)) 进行检验。

　　当 $Q(m) > \chi_{\alpha}^2$ 时，拒绝零假设，即认为序列中存在某些自相关，这里 $\chi_{\alpha}^2$ 为自由度为 $m$ 的 $\chi^2$ 分布的 $100(1-\alpha)$ 分位数。R 中的计算程序会直接给出 $p$ 值，此时当 $p < \alpha$ 时拒绝零假设，$\alpha$ 为显著性水平。

　　在进行时间序列分析时，通常会先使用 Ljung-Box Q 统计量检查时间序列是否存在自相关。如果存在自相关，就可以考虑使用模型对序列进行拟合。我们希望模型的残差是白噪声，此时可以对拟合的残差再使用 Ljung-Box Q 统计量进行一次检验，如果残差不存在自相关，说明模型能够很好地捕获序列中的相关关系。