格拉姆-施密特方法是为 $\mathbb{R}^n$ 中任意非零子空间构造正交基或标准正交基的简单算法。 　　定理 11（格拉姆-施密特方法）对 $\mathbb{R}^n$ 的子空间 $W$ 的一个基 $\{\boldsymbol x_1, \cdots, \boldsymbol x_p\}$，定义 \begin{align} \boldsymbol v_1 &= \…
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　　$\mathbb{R}^2$ 中点在通过原点的直线上的正交投影和 $\mathbb{R}^n$ 的情形非常类似。对给定向量 $\boldsymbol y$ 和 $\mathbb{R}^n$ 中子空间 $W$，存在属于 $W$ 的向量 $\hat{\boldsymbol y}$ 满足：（1）$W$ 中有唯一向量 $\hat{\boldsymbol y}$，使得 $\boldsymbol y &#…
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　　对于 $\mathbb{R}^n$ 中的向量集合 $\boldsymbol u_1, \cdot, \boldsymbol u_p$，如果集合中任意两个不同的向量都正交，即当 $i \neq j$ 时，$\boldsymbol u_i \cdot \boldsymbol u_j = 0$，则称该向量集合为正交集。 　　定理 4　如果 $S = \{\boldsymbol u_1, \c…
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1. 內积 　　如果 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则可以将 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 作为 $n \times 1$ 矩阵。转置 $\boldsymbol u$ 是 $1 \times n$ 矩阵，且矩阵乘积 $\boldsymbol u^\mathsf{T} \bolds…
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1. 幂算法 　　幂算法适用于 $n \times n$ 矩阵 $A$ 由严格占优特征值（亦称主特征值）$\lambda_1$ 的情况。$\lambda_1$ 为主特征值的意思是 $\lambda_1$ 的绝对值比其他特征值的绝对值都大。此时，幂算法产生一个近似 $\lambda_1$ 的数列和一个近似对应主特征向量的向量序列。 　　为简单起见，假设 $A$ 可对角化，特征向量 $\boldsym…
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　　在很多应用问题中，有些量随时间连续变化，它们与下面的微分方程组有关： \begin{equation} x^\prime_1 = a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n \\ x^\prime_2 = a_{21}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ x^\prime_n = a_{n1…
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　　对于由差分方程 $\boldsymbol x_{k+1} = A \boldsymbol x$ 描述的动力系统，$A$ 的特征值和特征向量提供了该动力系统长期行为（如控制系统中的稳态响应）的线索。 　　假设 $A$ 可对角化，由 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n$ 和对应的特征值 $\lambda_1, \cdot…
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　　$n \times n$ 矩阵的特征方程含有 $n$ 次多项式，如果考虑复根，方程恰好有 $n$ 个根（重根重复计算）。对复特征值的研究能揭示矩阵中隐藏的信息，通常与周期、震动、旋转等问题相关。 　　建立在 $\mathbb{R}^n$ 基础上的矩阵特征值-特征向量理论同样可以应用到 $\mathbb{C}^n$。因此，一个复数 $\lambda$ 满足 $\det(A – \la…
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1. 线性变换的矩阵 　　设 $V$ 是 $n$ 维向量空间，$W$ 是 $m$ 维向量空间，$T$ 是 $V$ 到 $W$ 的线性变换。为了把 $T$ 与矩阵相联系，指定 $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{C}$ 分别是 $V$ 和 $W$ 的基。 　　若 $\boldsymbol x \in V$，坐标向量 $[\boldsymbol x]_\mathca…
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　　如果一个方阵 $A$ 相似于对角阵，即存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，有 $A = PDP^{-1}$，则称 $A$ 可对角化。 　　定理 5（对角化定理）$n \times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件时 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。事实上，$A = PDP^{-1}$，$D$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 个线性无…
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