1. 联合概率分布函数 　　为了处理两个随机变量的概率问题，定义两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布函数（Joint Cumulative Probability Distribution Function）如下 \begin{equation} F(a, b) = P\{X \leq a, Y \leq b\} \qquad -\infty < a, b &lt…
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　　如果我们已知某随机变量 $X$ 的分布，想要知道该随机变量的函数 $g(X)$ 的分布，需要将事件 $g(X) \leq y$ 表示为关于 $X$ 的集合。 　　定理　设 $X$ 为一连续型随机变量，密度函数为 $f_X$，设 $g(x)$ 为一严格单调（递增或递减）且可微（因此必连续）的函数，那么随机变量 $Y = g(X)$ 的密度函数为 \begin{equation} f_Y(y) =…
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1. $\Gamma$ 分布 　　如果一个随机变量具有密度函数 \begin{equation} f(x) = \begin{cases}\frac{\lambda e^{-\lambda x} (\lambda x)^{\alpha – 1}}{\Gamma(\alpha)} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0\end{cases} …
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1. 定义 　　如果一个连续型随机变量的密度函数对于参数 $\lambda > 0$ 有 \begin{equation} f(x) =\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & 当 \; x \geq 0 \\ 0 & 当 \; x < 0\end{cases} \tag{1} \end{equation} 则称该随机变量是…
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1. 定义 　　如果随机变量 $X$ 的密度函数为 \begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma } \mathrm{e}^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}} \qquad -\infty < x < \infty \tag{1} \end{equation} 则称 $X$ 是服从参数为 …
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1. 定义 　　如果一个随机变量 $X$ 的密度函数为 \begin{equation} f(x) = \begin{cases}1 & 0 < x <1 \\ 0 & 其他\end{cases} \tag{1} \end{equation} 则称随机变量 $X$ 在 $(0, 1)$ 区间上服从均匀分布（Uniform Distribution）。 　…
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1. 定义 　　设 $X$ 是一个随机变量，如果存在一个定义在实数轴上的非负函数 $f$，使得对于任一个实数集 $B$，满足 \begin{equation} P\{X \in B\} = \int_B f(x) \mathrm{d}x \tag{1} \end{equation} 则称 $X$ 为连续型（Continuous）随机变量。函数 $f$ 称为随机变量 $X$ 的概率密…
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1. 随机变量和的期望 　　期望的一个重要性质是一组随机变量的和的期望等于这组随机变量各自期望的和。 　　给定一个随机变量 $X$，则当 $s \in S$（即 $s$ 表示一次试验结果）时，$X(s)$ 表示此事随机变量 $X$ 的取值。现在，如果给定随机变量 $X$ 和 $Y$，那么它们的和任然是随机变量，即 $Z = X + Y$ 是随机变量。并且，$Z(s) = X(s) + Y(s)$ …
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1. 几何随机变量 　　在独立重复试验中，每次成功的概率为 $p$，$0 < p < 1$，重复试验直到试验首次成功为止，令 $X$ 表示需要试验的次数，使 $X = n$ 的充分必要条件是前 $n – 1$ 次试验失败，而第 $n$ 次试验成功。又因假定各次试验是独立的，有 \begin{equation} P\{X = n\} = (1 – …
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1. 定义 　　如果一个取值为 $0, 1, 2, \cdots$ 的随机变量对某一个 $\lambda > 0$，其分布列如下 \begin{equation} p(i) = P\{X = i\} = \mathrm{e}^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} \qquad i = 0, 1, 2, \cdots \tag{1} \end{equatio…
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