对于矩阵方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$，可以将矩阵 $A$ 看成一种对象，它通过乘法“作用”于向量 $\boldsymbol x$，产生新向量 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$。解方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$（假设$A$ 是 $m \times n$ 的矩阵），就是求出 $\…
Read more

　　定义 对于 $\mathbb{R}^n$ 中一组向量 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$，若向量方程 \begin{equation} x_1 \boldsymbol v_1 + x_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + x_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag…
Read more

齐次线性方程组 　　若线性方程可以写成 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的形式，则称该线性方程组是齐次的。其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\boldsymbol 0$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的零向量。这样的方程组至少有一个解，即 $\boldsymbol x = \boldsymbol 0$（$\mathbb{R}^n$ 中的零…
Read more

　　定义 若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的各列为 $\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n$。若 $\boldsymbol x$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则 $A$ 与 $\boldsymbol x$ 的积记为 $A \boldsymbol x$，就是 $A$ 的各列以 $\boldsymbol x$ 中对应元素为权…
Read more

$\mathbb{R}^2$ 中的向量 　　仅含一列的矩阵称为列向量，简称向量，如： \begin{equation} \boldsymbol u = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}, \boldsymbol v = \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.3 \end{bmatrix}, \boldsymbol…
Read more

　　矩阵中至少包含一个非零元素的行称为非零行，非零行中最左边的元素称为先导元素。 　　定义 若矩阵具有以下三个性质： 每一非零行在每一零行之上。 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的后面。 某一先导元素所在列的下方的元素都是零。 则称该矩阵为阶梯形（或行阶梯形）矩阵。若一个阶梯形矩阵还满足以下性质： 每一非零行的先到元素都是 1。 每一先导元素 1 是该元素所在列中唯一的非零元素。 则称该…
Read more

本系列为《线性代数及其应用（原书第 5 版）》（Linear Algebra and Its Application）中关键概念的整理，方便差用。 　　线性方程是形如 \begin{equation} a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b \tag{1} \end{equation} 的方程，其中 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是变量；…
Read more