假设 $X, Y$ 联合连续且具有联合密度 $f(x, y)$，因此有 \begin{align} E[g(X)h(Y)] &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x)h(y)f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^…
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　　对于给定的事件序列 $A_1, \cdots, A_n$，令 $X$ 表示这些事件在试验中发生的次数，计算 $E[X]$ 的一个方法是考虑每个事件 $A_i$ 的示性变量 \begin{equation} I_i =\begin{cases}1 & 若 \; A_i \; 发生 \\ 0 & 其他\end{cases} \end{equation} 由 \beg…
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1. 期望的定义 　　离散型随机变量 $X$ 的期望定义为 \begin{equation} E[X] = \sum_x x p(x) \end{equation} 其中 $p(x)$ 是离散型随机变量 $X$ 的分布列。 　　连续型随机变量 $X$ 的期望定义为 \begin{equation} E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{d}x …
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1. 次序统计量 　　设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为 $n$ 个独立同分布的连续型随机变量，其分布函数为 $F(x)$，密度函数为 $f(x)$，定义 \begin{align} X_{(1)} &= X_1, X_2, \cdots, X_n \; 中的最小者 \\ X_{(2)} &= X_1, X_2, \cdots, X_n \; 中…
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　　设 $X_1, X_2$ 是联合连续的随机变量，具有联合密度函数 $F_{X_1, X_2}$，$Y_1, Y_2$ 为 $X_1, X_2$ 的函数，要计算 $Y_1, Y_2$ 的联合分布，设 $Y_1 = g_1(X_1, X_2)$，$Y_2 = g_2(X_1, X_2)$，函数 $g_1, g_2$ 满足以下两个条件： （1）有下列方程组 \begin{equation} y_1 …
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1. 离散情形下的条件分布 　　对于两个事件 $E$ 和 $F$，给定 $F$ 发生的条件下 $E$ 的条件概率为（假设 $P(F) > 0$） \begin{equation} P(E|F) = \frac{P(EF)}{P(F)} \end{equation} 如果 $X$ 和 $Y$ 都是离散型随机变量，那么在已知 $Y = y$ 的条件下，定义 $X$ 的分布列如下：对于所有满足 $p_Y…
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1. 独立随机变量 　　对于随机变量 $X$ 和 $Y$，如果对任意两个实数集 $A$ 和 $B$，有 \begin{equation} P\{X \in A, Y \in B\} = P\{X \in A\} P\{Y \in B\} \tag{1} \end{equation} 则称 $X$ 和 $Y$ 是独立的（Indenpendent）。也就…
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1. 联合概率分布函数 　　为了处理两个随机变量的概率问题，定义两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布函数（Joint Cumulative Probability Distribution Function）如下 \begin{equation} F(a, b) = P\{X \leq a, Y \leq b\} \qquad -\infty < a, b &lt…
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　　如果我们已知某随机变量 $X$ 的分布，想要知道该随机变量的函数 $g(X)$ 的分布，需要将事件 $g(X) \leq y$ 表示为关于 $X$ 的集合。 　　定理　设 $X$ 为一连续型随机变量，密度函数为 $f_X$，设 $g(x)$ 为一严格单调（递增或递减）且可微（因此必连续）的函数，那么随机变量 $Y = g(X)$ 的密度函数为 \begin{equation} f_Y(y) =…
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1. $\Gamma$ 分布 　　如果一个随机变量具有密度函数 \begin{equation} f(x) = \begin{cases}\frac{\lambda e^{-\lambda x} (\lambda x)^{\alpha – 1}}{\Gamma(\alpha)} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0\end{cases} …
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