线性代数 Cheat Sheet 7-3:条件优化

  工程中常常需要寻找一些特定集合内的 $\boldsymbol x$ 值,使得二次型 $Q(\boldsymbol x)$ 取得最大值或最小值。具有代表性的是,这类问题可化为 $\boldsymbol x$ 在一组单位向量中的变量的优化问题。   $\mathbb{R}^n$ 中的一个单位向量 $\boldsymbol x$ 可用以下几种等价形式来描述: \begin{equation} \lV…
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线性代数 Cheat Sheet 7-2:二次型

  $\mathbb{R}^n$ 上的一个二次型是一个定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的函数,它在向量 $\boldsymbol x$ 处的值可由表达式 $Q(x) = \boldsymbol x^\mathsf{T} A \boldsymbol x$ 计算,其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵。矩阵 $A$ 称为关于二次型的矩阵。   在某些情况下,二次型对应的矩阵是对角…
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线性代数 Cheat Sheet 7-1:对称矩阵的对角化

  一个对称矩阵是一个满足 $A^\mathsf{T} = A$ 的矩阵 $A$,这种矩阵是方阵,其主对角线元素是任意的,但其他元素在主对角线的两边成对出现。   定理 1 如果 $A$ 是对称矩阵,那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的。   设 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2$ 是对应于不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量…
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