时间序列分析：ARIMA 建模示例

Author: 2019-07-24

Math

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1. 一般流程

　　对时间序列的分析和建模一般有一下几个步骤：

  1. 查看时间序列的图像：
    1.1. 如果具有趋势，可能需要对序列进行差分；
    1.2. 如果方差随时间变化，可能需要对序列进行转换，如 $\log$ 变换。先进行 $\log$ 变换再做差分的变换称为 Log-Return。
  2. 查看 ACF 图像，判断滑动平均的阶数。
  3. 查看 PACF 图像，判断自回归阶数。
  4. 选择若干组参数进行建模，可以使用如下指标来选择模型：
    • SSE：评价拟合质量；
    • AIC：综合评价拟合质量和模型复杂度；
    • Ljung-Box Q 统计量：判断残差是否有自相关。
  5. 进行估计。

2. 一个例子

　　数据可以在这里下载到。

2.1. 绘制图像

　　首先读取数据并绘制图像如图 1 所示：

birth.data <- read.csv("./data/daily-total-female-births-CA.csv")
birth.num <- birth.data$births
birth.date <- as.Date(birth.data$date, "%Y-%m-%d")
plot(birth.num ~ birth.date, type='l')

图 1

可以看到数据似乎有一些趋势。对序列进行 Ljung-Box 检验

Box.test(birth.num, lag=log(length(birth.num)))

结果为

  Box-Pierce test

data:  birth.num
X-squared = 36.391, df = 5.8999, p-value = 2.088e-06

可见 $p = 2.088 \times 10^{-6} < 0.05$，拒绝零假设，认为序列存在自相关。

2.2. 进行差分

　　为了移除趋势，对序列进行差分，绘制图像如图 2 所示：

birth.num.diff <- diff(birth.num)
plot(birth.num.diff ~ birth.date[1:364], type='l')

图 2

可见趋势基本消失了。再进行 Ljung-Box 检验

Box.test(birth.num.diff, lag=log(length(birth.num.diff)))

结果为

  Box-Pierce test

data:  birth.num.diff
X-squared = 78.094, df = 5.8972, p-value = 7.661e-15

可见 $p = 7.661 \times 10^{-15} < 0.05$，拒绝零假设，序列仍存在自相关。

2.3. 查看 ACF 和 PACF

　　绘制 ACF 和 PACF 图像如图 3、图 4 所示：

acf(birth.num.diff, 50)
pacf(birth.num.diff, 50)

图 3

图 4

可见 ACF 在滞后为 $1$ 处截断，PACF 像是在衰减，也像是在延迟为 $7$ 处截断。

2.4. 模型比较

　　结合分析，使用以下 $4$ 组模型进行拟合：

params <- list(c(0, 1, 1), c(0, 1, 2), c(7, 1, 1), c(7, 1, 2))
results <- data.frame()
for (i in 1:length(params)) {
    param <- params[[i]]
    model <- arima(birth.num, order=param)
    test <- Box.test(model$residuals, lag=log(length(model$residuals)))
    result = data.frame(model=paste("ARIMA(", param[1], ",", param[2], ",", param[3], ")", sep=""), 
                        AIC=model$aic, SSE=sum(resid(model)^2), P.value=test$p.value)
    results <- rbind(results, result)
}

结果为

model           AIC         SSE         P.value
ARIMA(0,1,1)    2462.221    18148.46    0.5333604
ARIMA(0,1,2)    2459.571    17914.65    0.9859227
ARIMA(7,1,1)    2464.883    17584.39    0.9999899
ARIMA(7,1,2)    2466.666    17574.06    0.9999929

选择 AIC 最小的模型，即 $\mathrm{ARIMA}(0,1,2)$。

2.5. 最终模型

　　最后使用 astsa 包的 sarima 函数进行拟合：

library(astsa)

sarima(birth.num, 0, 1, 2, 0, 0, 0)

得到系数为

Coefficients:
          ma1      ma2  constant
      -0.8511  -0.1113     0.015
s.e.   0.0496   0.0502     0.015

故最终的模型为

\begin{equation}
(1 – B)X_t = 0.015 + e_t – 0.8511 e_{t-1} – 0.1113 e_{t-2}
\end{equation}

即

\begin{equation}
X_t = X_{t-1} + 0.015 + e_t – 0.8511 e_{t-1} – 0.1113 e_{t-2}
\end{equation}