时间序列分析:均方收敛
对于随机过程 {Xn} 和随机变量 X,当 n→∞ 时,若
E[(Xn–X)2]→0
则称 Xn 均方收敛于 X。
前文中将 MA(1) 过程 Xt=et+θet−1 表示为 AR(∞) 的形式
et=θ(B)−1Xt=1–θXt−1+θ2Xt−2–θ3Xt−3+⋯=∞∑k=0(−θ)kXt−k
为了使上式有意义,我们希望式 (2) 等号右边的级数均方收敛于 et。考虑部分和 An=n∑k=0(−θ)kXt−k,我们希望当 n→∞ 时,An 均方收敛于 et。由
E[(n∑k=0(−θ)kXt−k–et)2]=E[(n∑k=0(−θ)kXt−k)2]–2E[(n∑k=0(−θ)kXt−k)et]+E(e2t)
对于式 (3) 中等号右边第一项
E[(n∑k=0(−θ)kXt−k)2]=E[n∑k=0θ2kX2t−k]+2E[n∑k=0k−1∑j=0(−θ)kXt−k(−θ)jXt−j]
对于式 (4) 中等号右边的第二项,仅在 j=k–1 时,Xt−k=et−k+θet−k−1 与 Xt−j=Xt−(k−1)=et−k+1+θet−k 有相同项 et−k,于是
2E[n∑k=0k−1∑j=0(−θ)kXt−k(−θ)jXt−j]=2E[n−1∑k=0(−θ)2k+1Xt−kXt−k+1]=−2E[n−1∑k=0θ2k+1Xt−kXt−k+1]
于是式 (4) 可以写成
E[(n∑k=0(−θ)kXt−k)2]=E[n∑k=0(−θ)kX2t−k]−2E[n−1∑k=0θ2k+1Xt−kXt−k+1]
对于式 (3) 中等号右边第二项,仅当 k=0 时,E(Xtet) 不为零,于是
–2E[(n∑k=0(−θ)kXt−k)et]=−2E(Xtet)
对于式 (3) 中等号右边第三项,有
E(e2t)=σ2e
将式 (6)、(7)、(8) 带入式 (3),并由前文可知对于 MA(1) 有 γ0=(1+θ2)σ2e,γ1=θσ2e,于是可以得到
E[(n∑k=0(−θ)kXt−k–et)2]=E[n∑k=0θ2kX2t−k]–2E[n−1∑k=0θ2k+1Xt−kXt−k+1]–2E[Xtet]+σ2e=n∑k=0θ2ke[X2t−k]–2n−1∑k=0θ2k+1E[Xt−kXt−k+1]–2E(e2t+θet−1et)+σ2e=γ0n∑k=0θ2k+2γ1n−1∑k=0θ2k+1–2σ2e+σ2e=(1+θ2)σ2en∑k=0θ2k–2θσ2en−1∑k=0θ2k+1–σ2e=σ2eθ2n+2
我们希望当 n→∞ 时,E[(n∑k=0(−θ)kXt−k–et)2]→0,即 σ2eθ2n+2→0,因此要求 |θ|<1,此时特征方程 1+θB=0 的根 |−1/β|>1。