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时间序列分析:均方收敛

  对于随机过程 {Xn} 和随机变量 X,当 n 时,若

E[(XnX)2]0

则称 Xn 均方收敛于 X

  前文中将 MA(1) 过程 Xt=et+θet1 表示为 AR() 的形式

et=θ(B)1Xt=1θXt1+θ2Xt2θ3Xt3+=k=0(θ)kXtk

为了使上式有意义,我们希望式 (2) 等号右边的级数均方收敛于 et。考虑部分和 An=nk=0(θ)kXtk,我们希望当 n 时,An 均方收敛于 et。由

E[(nk=0(θ)kXtket)2]=E[(nk=0(θ)kXtk)2]2E[(nk=0(θ)kXtk)et]+E(e2t)

  对于式 (3) 中等号右边第一项

E[(nk=0(θ)kXtk)2]=E[nk=0θ2kX2tk]+2E[nk=0k1j=0(θ)kXtk(θ)jXtj]

对于式 (4) 中等号右边的第二项,仅在 j=k1 时,Xtk=etk+θetk1Xtj=Xt(k1)=etk+1+θetk 有相同项 etk,于是

2E[nk=0k1j=0(θ)kXtk(θ)jXtj]=2E[n1k=0(θ)2k+1XtkXtk+1]=2E[n1k=0θ2k+1XtkXtk+1]

于是式 (4) 可以写成

E[(nk=0(θ)kXtk)2]=E[nk=0(θ)kX2tk]2E[n1k=0θ2k+1XtkXtk+1]

  对于式 (3) 中等号右边第二项,仅当 k=0 时,E(Xtet) 不为零,于是

2E[(nk=0(θ)kXtk)et]=2E(Xtet)

  对于式 (3) 中等号右边第三项,有

E(e2t)=σ2e

  将式 (6)(7)(8) 带入式 (3),并由前文可知对于 MA(1)γ0=(1+θ2)σ2eγ1=θσ2e,于是可以得到

E[(nk=0(θ)kXtket)2]=E[nk=0θ2kX2tk]2E[n1k=0θ2k+1XtkXtk+1]2E[Xtet]+σ2e=nk=0θ2ke[X2tk]2n1k=0θ2k+1E[XtkXtk+1]2E(e2t+θet1et)+σ2e=γ0nk=0θ2k+2γ1n1k=0θ2k+12σ2e+σ2e=(1+θ2)σ2enk=0θ2k2θσ2en1k=0θ2k+1σ2e=σ2eθ2n+2

  我们希望当 n 时,E[(nk=0(θ)kXtket)2]0,即 σ2eθ2n+20,因此要求 |θ|<1,此时特征方程 1+θB=0 的根 |1/β|>1