时间序列分析：差分方程

Author: nex3z 2019-07-20

1. 定义

　　在前文中给出的 $MA(q)$ 过程的定义使用了递归的形式，例如 $X_t = \phi X_{t-1} + e_t$，使用 $\{X_t\}$ 在 $t-1$ 时刻的值 $X_{t}$来定义 $X_t$。更一般地，形如

$$\begin{equation} y_n = a_1 y_{n-1} + a_2 y_{n-2} + \cdots + a_n y_{n-k} + b \tag{1} \end{equation}$$

的方程称为 $n$ 阶差分方程。形如式 $(1)$ 的方程没有直接给出 $y_n$ 的表达式，而是给出了 $y_n$ 与其前项的关系。要得到 $y_n$ 的一般表达式，需要解差分方程。

2. 一个例子

　　例如对如下的差分方程

$$\begin{equation} y_n = 5 y_{n-1} – 6y_{n-2} \tag{2} \end{equation}$$

假设它的解为 $\lambda^n$ 的形式，此时式 $(2)$ 可以写为

$$\begin{equation} \lambda^n = 5 \lambda^{n-1} – 6\lambda^{n-2} \tag{2} \end{equation}$$

即

$$\begin{equation} \lambda^2 – 5\lambda + 6 = 0 \tag{3} \end{equation}$$

$(3)$ 称为特征方程，容易解得 $\lambda = 2$ 或 $\lambda = 3$，于是

$$\begin{equation} y_n = c_1 2^n + c_2 3^n \tag{4} \end{equation}$$

为了确定 $c_1$ 和 $c_2$，需要结合序列的初始值，假设 $y_0 = 3$ 及 $y_1 = 8$，则由式 $(4)$ 可以得到

$$\begin{equation} \begin{cases} c_1 + c_2 = 3 \\ 2c_1 + 3c_2 = 8 \end{cases} \end{equation}$$

解得 $c_1 = 1$，$c_2 = 2$。于是式 $(2)$ 所示差分方程的解为

$$\begin{equation} y_n = 2^n + 2 \times 3^n \tag{4} \end{equation}$$

3. 一般情况

　　一般地，对于差分方程

$$\begin{equation} y_n = a_1 y_{n-1} + a_2 y_{n-2} + \cdots + a_n y_{n-k} \tag{5} \end{equation}$$

它的特征方程为

$$\begin{equation} \lambda^k – a_1 \lambda^{k-1} – a_2 \lambda^{k-2} – \cdots – a_{k-1} \lambda – a_k = 0 \end{equation}$$

设特征方程有 $k$ 个实根 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$，则

$$\begin{equation} y_n = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n + \cdots + c_n \lambda_k^n \end{equation}$$

结合序列的初始值，可以解得 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 的值，从而得到式 $(5)$ 所示差分方程的解。

4. 斐波那契数列

　　斐波那契数列的递归定义为 $y_n = y_{n-1} + y_{n-2}$，初始值 $y_0 = 1$，$y_1 = 1$。它的特征方程为

$$\begin{equation} \lambda^2 – \lambda – 1 = 0 \end{equation}$$

解得两个实根

$$\begin{equation} \lambda_1 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}, \qquad \lambda_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \end{equation}$$

于是

$$\begin{equation} y_n = c_1 \bigg(\frac{1 – \sqrt{5}}{2}\bigg)^n + c_2 \bigg(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\bigg)^n \end{equation}$$

结合初始值，有

$$\begin{equation} \begin{cases} c_1 + c_2 = 1 \\ c_1 \frac{1 – \sqrt{5}}{2} + c_2 \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1 \end{cases} \end{equation}$$

解得

$$\begin{equation} c_1 = \frac{5 – \sqrt{5}}{10}, \qquad c_2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} \end{equation}$$

于是得到

$$\begin{equation} y_n = \frac{5 – \sqrt{5}}{10} \bigg(\frac{1 – \sqrt{5}}{2}\bigg)^n + \frac{5 + \sqrt{5}} {10}\bigg(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\bigg)^n \end{equation}$$

5. 对比微分方程

　　解差分方程的过程与解微分方程相似，对于微分方程

$$\begin{equation} y^{(k)} = a_1 y^{(k-1)} + a_2 y^{(k-2)} + \cdots + a_{k-1}y^{(1)} + a_k \end{equation}$$

其解具有 $e^\lambda$ 的形式，特征方程为

$$\begin{equation} \lambda^k – a_1 \lambda^{k-1} – \cdots – a_{k-1}\lambda – a_k = 0 \end{equation}$$