时间序列分析：Yule-Walker 方程举例
1. 例子 假设有 $\mathrm{MA}(2)$ 过程 \begin{equation} X_t = \frac{1}{3} X_{t-1} + \frac{1}{2} X_{t-2} + e_t \tag{1} \end{equation} 其中 $e_t$ 为独立于 $X_{t-k}$（$k=1,2,\cdots$）的均值为 $0$、方差为 $\sigma_e^2$ 的白噪声。其特征多…
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时间序列分析：差分方程
1. 定义 在前文中给出的 $MA(q)$ 过程的定义使用了递归的形式，例如 $X_t = \phi X_{t-1} + e_t$，使用 $\{X_t\}$ 在 $t-1$ 时刻的值 $X_{t}$来定义 $X_t$。更一般地，形如 \begin{equation} y_n = a_1 y_{n-1} + a_2 y_{n-2} + \cdots + a_n y_{n-k} +…
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时间序列分析：通过 AR(∞) 分析 MA(q)
1. 将 $\mathrm{AR}(p)$ 表示为 $\mathrm{MA}(\infty)$ 在前文中提到，当 $\mathrm{AR}(p)$ 过程平稳时，$\mathrm{AR}(p)$ 可以表示为 $\mathrm{MA}(\infty)$ 的形式。对于 $\mathrm{AR}(p)$ 过程 \begin{equation} X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2…
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时间序列分析：均方收敛
对于随机过程 $\{X_n\}$ 和随机变量 $X$，当 $n \rightarrow \infty$ 时，若 \begin{equation} E[(X_n – X)^2] \rightarrow 0 \tag{1} \end{equation} 则称 $X_n$ 均方收敛于 $X$。 前文中将 $\mathrm{MA}(1)$ 过程 $X_t = e_t +…
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