时间序列分析：可逆性与平稳性
1. $\mathrm{MA}(q)$ 的可逆性
前文讨论了可逆性的一般形式。特殊地，对于 $\mathrm{MA}(q)$ 过程
\begin{equation}
X_t = e_t + \theta_1 e_{t-1} + \theta_2 e_{t-2} + \cdots + \theta_q e_{t-q} \tag{1}
\end{equation}
即
\begin{equation}
X_t = \theta(B) e_t \tag{2}
\end{equation}
其中 $\theta(B)$ 为特征多项式
\begin{equation}
\theta(B) = 1 + \theta_1 B + \theta_2 B^2 + \cdots + \theta_q B^q \tag{3}
\end{equation}
可以证明，$\mathrm{MA}(q)$ 过程是可逆的，即有系数 $\pi_i$ 使得
\begin{equation}
e_t = \theta(B)^{-1} X_t = X_t + \pi_1 X_{t-1} + \pi_2 X_{t-2} + \cdots \tag{4}
\end{equation}
当且仅当 $\mathrm{MA}$ 的特征方程 $\theta(B) = 0$ 根的模大于 $1$。这里将 $B$ 看成一个复变量，特征方程根的模大于 $1$ 也就是说特征方程的复根在单位圆外。
例如对于 $\mathrm{MA}(1)$ 过程 $X_t = e_t + \theta e_{t-1}$，其特征方程为 $1 + \theta B = 0$，有一个根 $B = -1/\theta$，则当 $|-1/\theta| > 1$ 即 $|\theta| < 1$ 时，该过程是可逆的。
又如对于 $\mathrm{MA}(2)$ 过程 $X_t = e_t + \frac{5}{6} e_{t-1} + \frac{1}{6} e_{t-2}$，其特征方程为 $1 + \frac{5}{6}B + \frac{1}{6}B^2 = 0$，解得 $B = -2$ 或 $B = -3$，两个特征根都在单位圆外，故该过程是可逆的。此时可以计算
\begin{align}
\theta(B)^{-1} &= \frac{1}{1 + \frac{5}{6}B + \frac{1}{6}B^2} = \frac{3}{1 + \frac{1}{2}B} – \frac{2}{1 + \frac{1}{3}B} \\
&= \sum_{k=0}^\infty \bigg[ 3\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^k – 2\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)^k \bigg] B^k
\end{align}
于是得到
\begin{align}
e_t &= \theta(B)^{-1} X_t = \sum_{k=0}^\infty \bigg[ 3\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^k – 2\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)^k \bigg] B^k X_t \\
&= \sum_{k=0}^\infty \pi_k X_{t-k}
\end{align}
其中
\begin{equation}
\pi_k = 3\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^k – 2\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)^k
\end{equation}
这里将一个 $\mathrm{MA}(2)$ 过程表示成了一个 $\mathrm{AR}(\infty)$ 过程。
2. $\mathrm{AR}(p)$ 的稳定性
$\mathrm{MA}(q)$ 过程始终是平稳的，而 $\mathrm{AR}(p)$ 过程不一定平稳。对于 $\mathrm{AR}(p)$ 过程
\begin{equation}
X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + e_t \tag{5}
\end{equation}
即
\begin{equation}
\phi(B) X_t = e_t \tag{6}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\phi(B) = 1 – \phi_1 B – \phi_2 B^2 – \cdots – \phi_p B^p \tag{7}
\end{equation}
当特征方程 $\phi(B) = 0$ （将 $B$ 看做一个复变量）的根都在单位圆外时，$\mathrm{AR}(p)$ 是弱平稳的。
注意这里 $\mathrm{AR}(p)$ 的平稳性的条件类似于 $\mathrm{MA}(q)$ 可逆性的条件，呈现一种对偶性。当 $\mathrm{AR}(p)$ 平稳时，它可以表示为 $\mathrm{MA}(\infty)$ 的形式。
例如对于 $\mathrm{AR}(1)$ 过程 $X_t = \phi X_{t-1} + e_t $ 即 $\phi(B) X_t = e_t$，特征多项式 $\phi(B) = 1 – \phi B$，特征方程 $1 – \phi B = 0$ 有一个根，为 $B = 1 / \phi$。则当 $|1 / \phi| > 1$ 即 $|\phi| < 1$ 时，该 $\mathrm{AR}(1)$ 过程是平稳的，此时
\begin{equation}
X_t = \phi(B)^{-1} e_t = \frac{1}{1 – \phi B} e_t = (1 + \phi B + \phi B^2 + \cdots) e_t = \sum_{k=0}^\infty \phi^k e_{t-k} \tag{8}
\end{equation}
这里将一个 $\mathrm{AR}(1)$ 过程表示成了一个 $\mathrm{MA}(\infty)$ 过程。
对式 $(8)$ 等号两边取方差，得
\begin{equation}
\mathrm{Var}(X_t) = \mathrm{Var}\bigg(\sum_{k=0}^\infty \phi^k e_{t-k}\bigg) = \sum_{k=0}^\infty \phi^{2k} \sigma_e^2 = \sigma_e^2 \sum_{k=0}^\infty \phi^{2k} \tag{9}
\end{equation}
当 $|\phi^2| < 1$ 时，式 $(9)$ 中的几何级数收敛，此时有 $|\phi| < 1$。
3. 可逆性和平稳性
综上所述，有如下的结论：
- 当 $\mathrm{MA}(q)$ 过程可逆时，$\mathrm{MA}(q)$ 可以表示为 $\mathrm{AR}(\infty)$ 的形式；
- 当 $\mathrm{AR}(p)$ 过程平稳时，$\mathrm{AR}(p)$ 可以表示为 $\mathrm{MA}(\infty)$ 的形式。