时间序列分析：数列和级数
1. 数列
数列是一列有序的数，可以包含有限项或无限项（无穷数列）。例如 $1, 2, 3, \cdots$ 就是一个无穷数列。通常使用角标表示数列中的某一项，例如 $a_1$ 表示第一项，$a_2$ 表示第二项，等等。
对于无穷数列，我们通常会关心当项数不断增加时数列的值具有的特征，即 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n$ 是否存在，以及存在时的值是多少。如果 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = L$ 存在，则表明 $a_n$ 随着 $n$ 的增大而不断趋近于 $L$，此时称数列 $\{a_n\}$ 收敛；否则称数列 $\{a_n\}$ 发散。
等比数列是一类很重要的数列，其定义为
\begin{equation}
a_n = r^n \qquad r 为常数，n = 0, 1, 2, \cdots \tag{1}
\end{equation}
等比数列是否收敛取决于 $r$ 的值，有
\begin{equation}
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} r^n = \begin{cases}
0 & -1 < r < 1 \\
1 & r = 1 \\
\infty & r > 1 \\
不存在 & r < -1
\end{cases} \tag{2}
\end{equation}
式 $(1)$ 所示的等比数列的首项 $a_0 = 1$。等比数列也可以不从 $1$ 开始，此时 $a_n = a r^n$，其中 $a, r$ 为常数，此时首项 $a_0 = a$。
2. 级数
2.1. 基本定义
级数是和，是将数列 $\{a_n\}$ 的各项都加起来的结果。对于无穷数列 $\{a_n\}$，它的级数为
\begin{equation}
a_1 + a_2 + a_3 + \cdots \tag{3}
\end{equation}
这个级数是无限个项的和。
定义数列 $\{A_N\}$ 表示数列 $\{a_n\}$ 中前 $N$ 项的和，即
\begin{equation}
A_N = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_N = \sum_{i=1}^N a_i \tag{4}
\end{equation}
$A_N$ 称为部分和数列，此时式 $(1)$级数也可以表示为
\begin{equation}
a_1 + a_2 + a_3 + \cdots = \lim_{N \rightarrow \infty} A_n \tag{5}
\end{equation}
或者
\begin{equation}
\sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^N a_n \tag{6}
\end{equation}
式 $(5)$ 将级数表示成了部分和数列的极限。如果 $\lim\limits_{N \rightarrow \infty} A_n = L$ 存在，则称等号左边的级数收敛收敛于 $L$；否则称级数发散。
2.2. 几何级数
对于等比数列 $1, r, r^2, r^3, \cdots$，它的级数为
\begin{equation}
1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty r^n \tag{7}
\end{equation}
式 $(7)$ 所示的级数称为几何级数。
几何级数的部分和为
\begin{equation}
A_N = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots + r^N = \frac{1 – r^{N+1}}{1-r} \qquad r \neq 1\tag{8}
\end{equation}
当 $-1 < r < 1$ 时，有
\begin{equation}
\lim_{N \rightarrow \infty} A_n = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1 – r^{N+1}}{1-r} = \frac{1}{1 – r} \tag{9}
\end{equation}
即
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1 – r} \tag{10}
\end{equation}
可见此时几何级数收敛于 $\frac{1}{1 – r}$。当 $r \geq 1$ 或 $r \leq -1$ 时，几何级数发散。
当几何级数的首项不为 $1$ 时，例如 $a_n = a r^n$，此时有
- 当 $-1 < r < 1$ 时，$\sum\limits_{n=0}^\infty r^n = \frac{a}{1 – r}$;
- 当 $r \geq 1$ 或 $r \leq -1$ 时，级数发散。
3. 将函数表示为数列和
将式 $(10)$ 等号两边的式子对换，得到
\begin{equation}
\frac{1}{1 – r} = \sum_{n=0}^\infty r^n = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \qquad |r| < 1 \tag{11}
\end{equation}
上式将有理函数 $\frac{1}{1 – r}$ 表示成了一个无穷数列的和。
更一般地，有
\begin{equation}
\frac{a}{1 – r} = \sum_{n=0}^\infty ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \qquad |r| < 1 \tag{12}
\end{equation}
如果分母上是一个高次的多项式，可以先进行拆分，再表示为序列和，例如
\begin{equation}
\frac{1}{(1 – 2x)(1 – \frac{1}{2}x)} = \frac{2}{1 – x} + \frac{-1}{1 – \frac{1}{2}x} = \sum_{n=0}^\infty (2 – \frac{1}{2^n}) x^n \tag{12}
\end{equation}
上式要求 $|x| < 1$ 且 $|\frac{1}{2}x| < 1$，即 $|x| < 1$。