时间序列分析：白噪声

Author: 2019-07-11

Math

1. 定义

　　白噪声过程指的是独立同分布的随机变量 $\{e_t\}$，具有均值 $\mu$（通常定义 $\mu = 0$） 和 方差 $\sigma^2$，记为 $e_t \sim \mathrm{wn}(\mu, \sigma^2)$。如果白噪声的分布是均值为 $0$、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，即 $e_t \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0, \sigma^2)$，则 $\{e_t\}$ 也称为高斯白噪声。

　　$\{e_t\}$ 是严平稳的，因为有

\begin{align}
&P(e_{t_1} \leq x_1, e_{t_2} \leq x_2, \cdots, e_{t_n} \leq x_n) \\
&= P(e_{t_1} \leq x_1) P(e_{t_2} \leq x_e) \cdots P(e_{t_n} \leq x_n) \quad 独立性\\
&= P(e_{t_1-k} \leq x_1) P(e_{t_2-k} \leq x_e) \cdots P(e_{t_n-k} \leq x_n) \quad 同分布 \\
&= P(e_{t_1-k} \leq x_1, e_{t_2-k} \leq x_2, \cdots, e_{t_n-k} \leq x_n)
\end{align}

　　$\{e_t\}$ 的均值函数为

\begin{equation}
E(e_t) = \mu
\end{equation}

　　$\{e_t\}$ 的协方差函数为

\begin{equation}
\gamma_k = \mathrm{Cov}(e_t, e_{t+k}) =
\begin{cases}
\sigma^2 & k = 0 \\
0 & k \neq 0
\end{cases}
\end{equation}

自相关函数为

\begin{equation}
\rho_k = \frac{\gamma_k}{\gamma_0} =
\begin{cases}
1 & k = 0 \\
0 & k \neq 0
\end{cases}
\end{equation}

可见白噪声也是弱平稳的。

　　虽然白噪声有独立同分布的要求，但在很多情况下，这一要求可以减弱成观测值不相关。

2. 模拟

　　模拟白噪声过程，绘制序列和 ACF 如图 1、图 2。

set.seed(42)
e <- ts(rnorm(200))
plot(e, main="White Noise")

图 1

acf(e)

图 2

由图 2 可见，只有在延迟为 $0$ 时自相关为 $1$，其他滞后上没有明显自相关。