时间序列分析：延迟算子和差分算子

Author: nex3z 2019-07-10

1. 延迟算子

　　延迟算子（Backshift Operator）也称为滞后算子（Lag Operator），记为 $B$，作用于时间序列的时间指标上，将时间向后倒退一个时间单位，形成一个新的序列。特别地，定义

$$\begin{equation} BY_t = Y_{t – 1} \tag{1} \end{equation}$$

　　延迟算子是线性计算，对于任何常数 $a, b, c$ 和序列 $Y_t，X_t$，有

$$\begin{equation} B(aY_t + bX_t + c) = aBY_t + bBX_t + c \tag{2} \end{equation}$$

　　$BY_t$ 本身是一个时间序列，在其之上再次应用延迟算子，得到 $BBY = BY_{t-1} = Y_{t-2}$，可以写成

$$\begin{equation} B^2Y_t = Y_{t-2} \end{equation}$$

　　一般地，有

$$\begin{equation} B^s Y_t = Y_{t-s} \tag{3} \end{equation}$$

　　延迟算子还有如下的性质

$$\begin{equation} Bc = c \tag{4} \end{equation}$$

$$\begin{equation} B^0 = 1 \tag{5} \end{equation}$$

$$\begin{equation} B^i B^j Y_t = B^{i+j}Y_t = Y_{t-i-j} \tag{6} \end{equation}$$

$$\begin{align} \frac{1}{1 – aB} &= (1 + aB + a^2 B^2 + \cdots) Y_t \\ &= Y_t + aY_{t-1} + a^2Y_{t-2} + \cdots \qquad (|a| < 1) \tag{7} \end{align}$$

$$\begin{equation} (1 – B)^n = \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{p}{i} B^i \tag{8} \end{equation}$$

2. 差分算子

　　差分运算是将非平稳时间序列转换为平稳时间序列的常用方法。对于序列 ${Y_t}$，定义

$$\begin{equation} \nabla Y_t = Y_t – Y_{t-1} = Y_t – BY_t = (1 – B)Y_t \tag{9} \end{equation}$$

为一次（向后）差分或一阶（向后）差分。

　　类似地，二次差分可以表示为

$$\begin{equation} \nabla^2 Y_t = (1 – B)^2 Y_t \end{equation}$$

上式也可以这样得到

$$\begin{align} \nabla^2 Y_t &= \nabla (\nabla Y_t) = \nabla Y_t – \nabla Y_{t-1} \\ &= (Y_t – Y_{t-1}) – (Y_{t-1} – Y_{t-2}) = Y_t – 2Y_{t-1} + Y_{t-2} \\ &= Y_t – 2B Y_t + B^2 Y_t = (1 – B)^2 Y_t \end{align}$$

实际上，$\nabla = 1 – B$，$\nabla^2 = (1 – B)^2$。

　　一般地，有

$$\begin{equation} \nabla^p Y_t = \nabla^{p-1} Y_t – \nabla^{p-1} Y_{t-1} \tag{10} \end{equation}$$

及

$$\begin{equation} \nabla^p Y_t = (1 – B)^p Y_t = \sum_{i=1}^p (-1)^i \binom{p}{i} x_{t-i} \tag{11} \end{equation}$$

　　此外，定义 $s$ 阶滞后差分为

$$\begin{equation} \nabla_k Y_t = Y_t – Y_{t-k} = (1 – B^k)Y_t \tag{12} \end{equation}$$

　　差分算子还有如下的性质

$$\begin{equation} \nabla c = 0 \tag{13} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \nabla \nabla_s \equiv \nabla_s \nabla \tag{14} \end{equation}$$