Monthly Archive: 11月 2018

　　定理 8 蕴含向量空间 $V$ 的基 $\mathcal{B}$ 若含有 $n$ 个向量，则 $V$ 与 $\mathbb{R}^n$ 同构。数 $n$ 是 $V$ 的一个内在性质（称为维数），不依赖基的选择。 　　定理 9　若向量空间 $V$ 具有一组基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$，…
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1. 坐标系 　　定理 7（唯一坐标定理）令 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$ 是向量空间 $V$ 的一个基，则对 $V$ 中每个向量 $\boldsymbol x$，存在唯一的一组数 $c_1, \cdots, c_n$，使得 \begin{equation} \boldsymbol x = …
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　　对于 $V$ 中向量的一个指标集 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$，如果 \begin{equation} c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + c_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag{1} \end{equa…
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　　在线性代数的应用中，$\mathbb{R}^n$ 的子空间通常由以下两种方式产生：（1）作为齐次线性方程组的解集；（2）作为某些确定向量的线性组合的集合。 1. 矩阵的零空间 　　满足 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的所有 $\boldsymbol x$ 的集合称为矩阵 $A$ 的零空间。 　　定义　矩阵 $A$ 的零空间写成 $\mathrm{Nul}\…
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　　定义　一个向量空间是有一些被称为向量的对象构成的非空集合 $V$，在这个集合上定义了两个运算，称为加法和标量乘法（标量取实数），服从以下公理（或法则），这些公理必须对 $V$ 中所有向量 $\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w$ 及所有标量（或称数）$c$ 和 $d$ 均成立。 1. $\boldsymbol u, \boldsymbol v$…
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　　对任意 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和任意 $\mathbb{R}^n$ 中的向量 $\boldsymbol b$，令 $A_i(\boldsymbol b)$ 表示 $A$ 中第 $i$ 列由向量 $\boldsymbol b$ 替换得到的矩阵： \begin{equation} A_i(\boldsymbol b) = \begin{bmatrix} \boldsymbol a…
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　　定理 3（行变换）令 $A$ 是一个方阵。 a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得到矩阵 $B$，则 $\det B = det A$。 b. 若 $A$ 的两行互换得到矩阵 $B$，则 $\det B = -\det A$。 c. 若 $A$ 的某行乘以 $k$ 得到矩阵 $B$，则 $\det B = k \cdot \det A$。 　　若一个方阵 $A$ 通过行倍加和行交换化简为…
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　　定义　当 $n \geq 2$ 时，$n \times n$ 矩阵 $A = [a_{ij}]$ 的行列式是形如 $\pm a_{1j} \det A_{1j}$ 的 $n$ 个项的和，其中加号和减号交替出现，元素 $a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n}$ 来自 $A$ 的第一行，用符号表示为： \begin{align} \det A &= a_{11} \c…
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1. 坐标系 　　定义　假设 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\}$ 是子空间 $H$ 的一组基。对 $H$ 中的每一个向量 $\boldsymbol x$，相对于基 $\mathcal{B}$ 的坐标是使 $\boldsymbol x = c_1 \boldsymbol b_1 + \cdots +…
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　　定义　$\mathbb{R}^n$ 中的一个子空间是 $\mathbb{R}^n$ 中的集合 $H$，具有以下三个性质： a. 零向量属于 $H$。 b. 对 $H$ 中任意的向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$，向量 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 属于 $H$。 c. 对 $H$ 中任意的向量 $\boldsymbol u…
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