线性代数 Cheat Sheet 3-1:行列式介绍

  定义 当 $n \geq 2$ 时,$n \times n$ 矩阵 $A = [a_{ij}]$ 的行列式是形如 $\pm a_{1j} \det A_{1j}$ 的 $n$ 个项的和,其中加号和减号交替出现,元素 $a_{11}, a^{12}, \cdots, a_{1n}$ 来自 $A$ 的第一行,用符号表示为:

\begin{align}
\det A &= a_{11} \cdot \det A_{11} – a_{12} \cdot \det A_{12} + \cdots + (-1)^{1 + n} a_{1n} \cdot \det A_{1n} \\
& = \sum_{j = 1}^n (-1)^{1 + j} a_{1j} \det A_{1j}
\end{align}

  其中,$A_ij$ 表示通过删去 $A$ 中第 $i$ 行和第 $j$ 列而得到的矩阵。

  给定 $A = [a_{ij}]$,$A$ 的 $(i, j)$ 余因子 $C_{ij}$ 由下式给出:

\begin{equation}
C_{ij} = (-1)^{i + j} \det A_{ij}
\end{equation}

\begin{equation}
\det A = a_{11} \cdot C_{11} + a_{12} \cdot C_{12} + \cdots + a_{1n} \cdot C_{1n}
\end{equation}

这个公式称为按 $A$ 的第一行的余因子展开式

  定理 1 $n \times n$ 矩阵 $A$ 的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。按第 $i$ 行的余因子展开式为:

\begin{equation}
\det A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}
\end{equation}

按第 $j$ 列的余因子展开式为:

\begin{equation}
\det A = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}
\end{equation}

  $(i, j)$ 余因子中加号或减号取决于 $a_{ij}$ 在矩阵中的位置,而与 $a_{ij}$ 本身的符号无关。因子 $(-1)^{i + j}$ 可确定下面符号的棋盘模式:

\begin{equation}
\begin{bmatrix}
+ & – & + & \cdots \\
– & + & – \\
+ & – & + \\
\vdots & & & \ddots
\end{bmatrix}
\end{equation}

  定理 2 若 $A$ 为三角阵,则 $\det A$ 等于 $A$ 的主对角线上元素的乘积。

  对于计算三角阵的行列式时,依次以主元位置所在的列进行余因子展开,结果即为主对角线上元素的乘积。