Monthly Archive: 十一月 2018

线性代数 Cheat Sheet 2-7:计算机图形学中的应用

  计算机图形学中的图形变换是与矩阵乘法紧密联系的。但是,屏幕上的物品的平移并非线性变换,因此并不直接对应于矩阵乘法。避免这一困难的标准办法是引入齐次坐标。 1. 齐次坐标   $\mathbb{R}^2$ 中的每个点 $(x, y)$ 可以对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的点 $(x, y, 1)$,它们位于 $xy$ 平面上方 $1$ 单位的平面上。我们称 $(x, y)$ 有其次坐标…
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线性代数 Cheat Sheet 2-6:列昂惕夫投入产出模型

  设某国经济体系分为 $n$ 个部门,这些部门生产商品和服务。设 $\boldsymbol x$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中产出向量,它列出了每一部门一年中的产出。同时,设经济体系的另一部分(称为开放部门)不生产商品或服务,仅仅消费商品或服务,设 $\boldsymbol d$ 为最终需求向量(或最终需求账单),它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求、…
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线性代数 Cheat Sheet 2-5:矩阵因式分解

  矩阵 $A$ 的因式分解是把 $A$ 表示为两个或更多个矩阵的乘积。矩阵乘法是数据的综合,矩阵因式分解是数据的分解,分解后的结构可能更有用,或更便于计算。 1. LU 分解   设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,它可以行化简为阶梯形而不必进行行对换,则 $A$ 可写成形式 $A = LU$,$L$ 是 $m \times m$ 下三角矩阵,主对角线元素全是 $1$,$U$ 是 $…
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线性代数 Cheat Sheet 2-3:可逆矩阵的特征

  定理 8(可逆矩阵定理)设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵,则下列命题是等价的,即对某一特定的 $A$,它们同时为真或同时为假。 a. $A$ 是可逆矩阵。 b. $A$ 行等价于 $n \times n$ 单位矩阵。 c. $A$ 有 $n$ 个主元位置。 d. 方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。 e. $A$ 的各列线性无关。…
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