线性代数 Cheat Sheet 2-4:分块矩阵

  矩阵可以看作是一个数的矩形表,或者一组列向量。也可以将矩阵用水平和垂直的直线划分为几块,例如对于矩阵 $A$

\begin{equation}
A = \begin{bmatrix}
3 & 0 &-1 & 5 & 9 & -2 \\
-5 & 2 & 4 & 0 & -3 & 1 \\
-8 & -6 & 3 & 1 & 7 & -4
\end{bmatrix}
\end{equation}

可以写成 $2 \times 3$ 分块矩阵

\begin{equation}
A = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
\end{bmatrix}
\end{equation}

其中各元素是分块(子矩阵):

\begin{align}
A_{11} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & -1 \\ -5 & 2 & 4 \end{bmatrix} \; A_{12} = \begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \; A_{13} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \\
A_{21} = \begin{bmatrix} -8 & -6 & 3 \end{bmatrix} \; A_{22} = \begin{bmatrix} 1 & 7 \end{bmatrix} \; A_{23} = \begin{bmatrix} -4 \end{bmatrix}
\end{align}

1. 加法与标量乘法

  若矩阵 $A$ 和 $B$ 有相同的维数且以同样的方式分块,则 $A + B$ 也以同样的方式分块,其中每一块恰好是 $A$ 和 $B$ 对应分块的(矩阵)和。分块矩阵乘以一个数时也可以逐块计算。

2. 分块矩阵的乘法

  定理 10($AB$ 的行列展开)若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,$B$ 是 $n \times p$ 矩阵,则

\begin{equation}
AB = \begin{bmatrix} \mathrm{col}_1(A) & \mathrm{col}_2(A) & \cdots & \mathrm{col}_n(A)\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathrm{row}_1(B) \\ \mathrm{row}_2(B) \\ \vdots \\ \mathrm{row}_n(B) \end{bmatrix} \\
= \mathrm{col}_1(A)\mathrm{row}_1(B) + \cdots + \mathrm{col}_n(A)\mathrm{row}_n(B)
\end{equation}

3. 分块矩阵的逆

  分块上三角矩阵是形如 $A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}$ 的矩阵。

  分块对角矩阵是一个分块矩阵,除了主对角线上的各分块外,其余全是零分块。这样的矩阵是可逆的当且仅当主对角线上各分块都是可逆的。