Monthly Archive: 11 月 2018

　　计算机图形学中的图形变换是与矩阵乘法紧密联系的。但是，屏幕上的物品的平移并非线性变换，因此并不直接对应于矩阵乘法。避免这一困难的标准办法是引入齐次坐标。 1. 齐次坐标 　　$\mathbb{R}^2$ 中的每个点 $(x, y)$ 可以对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的点 $(x, y, 1)$，它们位于 $xy$ 平面上方 $1$ 单位的平面上。我们称 $(x, y)$ 有其次坐标…
Read more

　　设某国经济体系分为 $n$ 个部门，这些部门生产商品和服务。设 $\boldsymbol x$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中产出向量，它列出了每一部门一年中的产出。同时，设经济体系的另一部分（称为开放部门）不生产商品或服务，仅仅消费商品或服务，设 $\boldsymbol d$ 为最终需求向量（或最终需求账单），它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求、…
Read more

　　矩阵 $A$ 的因式分解是把 $A$ 表示为两个或更多个矩阵的乘积。矩阵乘法是数据的综合，矩阵因式分解是数据的分解，分解后的结构可能更有用，或更便于计算。 1. LU 分解 　　设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，它可以行化简为阶梯形而不必进行行对换，则 $A$ 可写成形式 $A = LU$，$L$ 是 $m \times m$ 下三角矩阵，主对角线元素全是 $1$，$U$ 是 $…
Read more

　　矩阵可以看作是一个数的矩形表，或者一组列向量。也可以将矩阵用水平和垂直的直线划分为几块，例如对于矩阵 $A$ \begin{equation} A = \begin{bmatrix} 3 & 0 &-1 & 5 & 9 & -2 \\ -5 & 2 & 4 & 0 & -3 & 1 \&#9…
Read more

　　定理 8（可逆矩阵定理）设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 $A$，它们同时为真或同时为假。 a. $A$ 是可逆矩阵。 b. $A$ 行等价于 $n \times n$ 单位矩阵。 c. $A$ 有 $n$ 个主元位置。 d. 方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。 e. $A$ 的各列线性无关。…
Read more

　　对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，若存在一个 $n \times n$ 的矩阵 $C$，使 \begin{equation} CA = I \; 且 \; AC = I \end{equation} 其中 $I = I_n$ 是 $n \times n$ 单位矩阵，则称 $C$ 是 $A$ 的逆。 　　若 $A$ 可逆，则它的逆是唯一的，记为 $A^{-1}$，于是 \beg…
Read more

　　若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素用 $a_{ij}$ 表示，称为 $A$ 的 $(i, j)$ 元素。$A$ 的各列是 $\mathbb{R}^m$ 中的向量，用黑体字母 $\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n$ 表示，写作 $A = \begin{bmatrix} \boldsymbo…
Read more

　　从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的每一个线性变换 $T$ 实际上都是一个矩阵变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$，变换 $T$ 的重要性质都归结为 $A$ 的性质。 　　定理 10　设 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$ 为线性变换，则存在唯一的矩阵 $A$，使得对 $…
Read more