线性代数 Cheat Sheet 3-2：行列式的性质

Author: nex3z 2018-11-24

　　定理 3（行变换）令 $A$ 是一个方阵。
a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得到矩阵 $B$，则 $\det B = det A$。
b. 若 $A$ 的两行互换得到矩阵 $B$，则 $\det B = -\det A$。
c. 若 $A$ 的某行乘以 $k$ 得到矩阵 $B$，则 $\det B = k \cdot \det A$。

　　若一个方阵 $A$ 通过行倍加和行交换化简为阶梯型 $U$，且此过程中经过了 $r$ 次行交换，则

$$\begin{equation} \det A =\begin{cases}(-1)^r \cdot (U 的主元乘积) \;\;\;\;\; & 当 A 可逆 \\ 0 & 当 A 不可逆\end{cases} \end{equation}$$

　　定理 4　方阵 $A$ 是可逆的当且仅当 $\det A \neq 0$。

　　若 $A$ 的列是线性相关的，则 $\det A = 0$，而且若 $A$ 的行是线性相关的，则 $\det A = 0$。

1. 列变换

　　定理 5　若 $A$ 为一个 $n \times n$ 矩阵，则 $\det A^\mathsf{T} = \det A$。

　　因为定理 5 成立，所以把定理 3 中出现的“行”字换成“列”字时，定理 3 的每一个命题仍然成立。只需针对 $A^\mathsf{T}$ 应用原来的定理 3，对 $A^\mathsf{T}$ 的行变换相当于对 $A$ 的一个列变换。

2. 行列式与矩阵乘积

　　定理 6（乘法的性质）若 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则 $\det AB = (\det A)(\det B)$。

　　一般而言，$\det (A + B) \neq \det A + \det B$。

3. 行列式函数的一个线性性质

　　若 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，可以将 $\det A$ 看做 $A$ 中 $n$ 个列向量的函数，如果 $A$ 中除了一列之外都是固定的向量，则 $\det A$ 是那个可变列向量的线性函数。

　　假设 $A$ 的第 $j$ 列允许有变化，$A$ 可写成

$$\begin{equation} A = \begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \cdots & \boldsymbol a_{j-1} & \boldsymbol x & \boldsymbol a_{j + 1} & \cdots & \boldsymbol a_n \end{bmatrix} \end{equation}$$

定义由 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}$ 的变换 $T$ 为

$$\begin{equation} T(\boldsymbol x) = \det \begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \cdots & \boldsymbol a_{j-1} & \boldsymbol x & \boldsymbol a_{j + 1} & \cdots & \boldsymbol a_n \end{bmatrix} \end{equation}$$

则有

$$\begin{equation} T(c \boldsymbol x) = cT(\boldsymbol x)，对任意常数 c 和 \mathbb{R}^n 中任意 \boldsymbol x 成立\\ T(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = T(\boldsymbol u) + T(\boldsymbol v)，对\mathbb{R}^n 中任意 \boldsymbol u, \boldsymbol v 成立 \end{equation}$$