线性代数 Cheat Sheet 2-9：维数与秩
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1. 坐标系
定义 假设 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\}$ 是子空间 $H$ 的一组基。对 $H$ 中的每一个向量 $\boldsymbol x$，相对于基 $\mathcal{B}$ 的坐标是使 $\boldsymbol x = c_1 \boldsymbol b_1 + \cdots + c_p \boldsymbol b_p$ 成立的权 $c_1, \cdots, c_p$，且 $\mathbb{R}^p$ 中的向量
\begin{equation}
[\boldsymbol x]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_p \end{bmatrix}
\end{equation}
称为 $\boldsymbol x$（相对于 $\mathcal{B}$）的坐标向量，或 $\boldsymbol x$ 的 $\mathcal{B}$-坐标向量。
要注意 $\mathcal{B}$ 中向量的次序，因为 $[\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 中的元素依赖于 $\mathcal{B}$ 中向量的次序。
2. 子空间的维数
可以证明，若子空间 $H$ 有一组基包含 $p$ 个向量，则 $H$ 的每个基都正好包含 $p$ 个向量。
定义 非零子空间 $H$ 的维数（用 $\dim H$ 表示）是 $H$ 的任意一个基的向量个数。零子空间 $\{\boldsymbol 0\}$ 的维数定义为零（零子空间无基）。
$\mathbb{R}^n$ 空间的维数为 $n$，$\mathbb{R}^n$ 的每个基由 $n$ 个向量组成。$\mathbb{R}^3$ 中一个经过 $\boldsymbol 0$ 的平面是二维的，一条经过 $\boldsymbol 0$ 的直线是一维的。
$\mathrm{Nul}\; A$ 的每个基向量对应于方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的一个自由变量，要确定 $\mathrm{Nul}\; A$ 的维数，只需求出 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 中的自由变量的个数。
定义 矩阵 $A$ 的秩（记为 $\mathrm{rank}\; A$）是 $A$ 的列空间的维数。
因为 $A$ 的主元列形成 $\mathrm{Col}\; A$ 的一个基，故 $A$ 的秩正好是 $A$ 的主元列的个数。
定理 14（秩定理）如果一矩阵 $A$ 有 $n$ 列，则 $\mathrm{rank}\; A + \dim{\mathrm{Nul}\; A} = n$。
定理 15（基定理）设 $H$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的 $p$ 维子空间，$H$ 中的任何恰好由 $p$ 个元素组成的线性无关集构成 $H$ 的一个基。并且，$H$ 中任何生成 $H$ 的 $p$ 个向量也构成 $H$ 的一个基。
3. 秩与可逆矩阵定理
定理（可逆矩阵定理（续））设 $A$ 是一 $n \times n$ 矩阵，则下面的每个命题与 $A$ 是可逆矩阵的命题等价：
m. $A$ 的列向量构成 $\mathbb{R}^n$ 的一个基。
n. $\mathrm{Col}\; A = \mathbb{R}^n$。
o. $\dim \mathrm{Col}\; A = n$。
p. $\mathrm{rank}\; A = n$。
q. $\mathrm{Nul}\; A = \{\boldsymbol 0\}$。
r. $\dim \mathrm{Nul}\; A = 0$。