线性代数 Cheat Sheet 2-9:维数与秩
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1. 坐标系
定义 假设 B={b1,⋯,bp} 是子空间 H 的一组基。对 H 中的每一个向量 x,相对于基 B 的坐标是使 x=c1b1+⋯+cpbp 成立的权 c1,⋯,cp,且 Rp 中的向量
[x]B=[c1⋮cp]
称为 x(相对于 B)的坐标向量,或 x 的 B-坐标向量。
要注意 B 中向量的次序,因为 [x]B 中的元素依赖于 B 中向量的次序。
2. 子空间的维数
可以证明,若子空间 H 有一组基包含 p 个向量,则 H 的每个基都正好包含 p 个向量。
定义 非零子空间 H 的维数(用 dimH 表示)是 H 的任意一个基的向量个数。零子空间 {0} 的维数定义为零(零子空间无基)。
Rn 空间的维数为 n,Rn 的每个基由 n 个向量组成。R3 中一个经过 0 的平面是二维的,一条经过 0 的直线是一维的。
NulA 的每个基向量对应于方程 Ax=0 的一个自由变量,要确定 NulA 的维数,只需求出 Ax=0 中的自由变量的个数。
定义 矩阵 A 的秩(记为 rankA)是 A 的列空间的维数。
因为 A 的主元列形成 ColA 的一个基,故 A 的秩正好是 A 的主元列的个数。
定理 14(秩定理)如果一矩阵 A 有 n 列,则 rankA+dimNulA=n。
定理 15(基定理)设 H 是 Rn 的 p 维子空间,H 中的任何恰好由 p 个元素组成的线性无关集构成 H 的一个基。并且,H 中任何生成 H 的 p 个向量也构成 H 的一个基。
3. 秩与可逆矩阵定理
定理(可逆矩阵定理(续))设 A 是一 n×n 矩阵,则下面的每个命题与 A 是可逆矩阵的命题等价:
m. A 的列向量构成 Rn 的一个基。
n. ColA=Rn。
o. dimColA=n。
p. rankA=n。
q. NulA={0}。
r. dimNulA=0。