线性代数 Cheat Sheet 2-3：可逆矩阵的特征

Author: nex3z 2018-11-08

　　定理 8（可逆矩阵定理）设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 $A$，它们同时为真或同时为假。
a. $A$ 是可逆矩阵。
b. $A$ 行等价于 $n \times n$ 单位矩阵。
c. $A$ 有 $n$ 个主元位置。
d. 方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。
e. $A$ 的各列线性无关。
f. 线性变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$ 是一对一的。
g. 对 $\mathbb{R}^n$ 中任意 $\boldsymbol b$，方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 至少有一个解（有唯一解）。
h. $A$ 的各列生成 $\mathbb{R}^n$。
i. 线性变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$ 把 $\mathbb{R}^n$ 映上到 $\mathbb{R}^n$。
j. 存在 $n \times n$ 矩阵 $C$，使 $CA = I$。
k. 存在 $n \times n$ 矩阵 $D$，使 $AD = I$。
l. $A^\mathsf{T}$ 是可逆矩阵。

　　设 $A$ 和 $B$ 为方阵，若 $AB = I$，则 $A$ 和 $B$ 都是可逆的，且 $B = A^{-1}$，$A = B^{-1}$。

　　可逆矩阵定理仅能用于方阵，它将所有 $n \times n$ 矩阵分为两个不相交集合：可逆（非奇异）矩阵和不可逆（奇异）矩阵。

1. 可逆线性变换

　　对于线性变换 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n$，若存在函数 $S: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n$，使得

$$\begin{equation} 对所有 \; \mathbb{R}^n \; 中的 \; \boldsymbol x，S(T(\boldsymbol x)) = \boldsymbol x \tag{1} \end{equation}$$

$$\begin{equation} 对所有 \; \mathbb{R}^n \; 中的 \; \boldsymbol x，T(S(\boldsymbol x)) = \boldsymbol x \tag{2} \end{equation}$$

则称线性变换 $T$ 是可逆的。若这样的 $S$ 存在，则它是唯一的，而且必是线性变换，称 $S$ 是 $T$ 的逆，写作 $T^{-1}$。

　　定理 9　设 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n$ 为线性变换，$A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则 $T$ 可逆当且仅当 $A$ 是可逆矩阵。这时由 $S(\boldsymbol x) = A^{-1}\boldsymbol x$ 定义的线性变换 $S$ 是满足 $(1)$ 和 $(2)$ 的唯一函数。