线性代数 Cheat Sheet 2-3:可逆矩阵的特征

  定理 8(可逆矩阵定理) 设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵,则下列命题是等价的,即对某一特定的 $A$,它们同时为真或同时为假。
a. $A$ 是可逆矩阵。
b. $A$ 行等价于 $n \times n$ 单位矩阵。
c. $A$ 有 $n$ 个主元位置。
d. 方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。
e. $A$ 的各列线性无关。
f. 线性变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$ 是一对一的。
g. 对 $\mathbb{R}^n$ 中任意 $\boldsymbol b$,方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 至少有一个解(有唯一解)。
h. $A$ 的各列生成 $\mathbb{R}^n$。
i. 线性变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$ 把 $\mathbb{R}^n$ 映上到 $\mathbb{R}^m$。
j. 存在 $n \times n$ 矩阵 $C$,使 $CA = I$。
k. 存在 $n \times n$ 矩阵 $D$,使 $AD = I$。
l. $A^\mathsf{T}$ 是可逆的。

  设 $A$ 和 $B$ 为方阵,若 $AB = I$,则 $A$ 和 $B$ 都是可逆的,且 $B = A^{-1}$,$A = B^{-1}$。

可逆线性变换

  对于线性变换 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n$,若存在函数 $S: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n$,使得

\begin{equation}
对所有 \mathbb{R}^n 中的 \boldsymbol x,S(T(\boldsymbol x)) = \boldsymbol x \\
对所有 \mathbb{R}^n 中的 \boldsymbol x,T(S(\boldsymbol x)) = \boldsymbol x
\end{equation}

则称线性变换 $T$ 是可逆的。若这样的 $S$ 存在,则它是唯一的,而且必是线性变换,称 $S$ 是 $T$ 的逆,写作 $T^{-1}$。

  定理 9 设 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n$ 为线性变换,$A$ 为 $T$ 的标准矩阵,则 $T$ 可逆当且仅当 $A$ 是可逆矩阵。这时由 $S(\boldsymbol x) = A^{-1}\boldsymbol x$ 定义的线性变换 $S$ 是满足 $(1)$ 和 $(2)$ 的唯一函数。

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