数理统计 Cheat Sheet 13：正态总体均值的假设检验

Author: nex3z 2019-04-16

1. 单个总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 均值 $\mu$ 的检验

1.1. $\sigma^2$ 已知，关于 $\mu$ 的检验（$Z$ 检验）

　　前文 已经给出正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 当 $\sigma^2$ 已知时关于 $\mu$ 的检验问题。此时使用统计量

$$\begin{equation} Z = \frac{\overline X – \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \end{equation}$$

来确定拒绝域。这种检验方法常称为 $Z$ 检验法。

1.2. $\sigma^2$ 未知，关于 $\mu$ 的检验（$t$ 检验）

　　设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu, \sigma^2$ 未知，考虑检验问题

$$\begin{equation} H_0: \mu = \mu_0, \quad H_1: \mu \neq \mu_0 \end{equation}$$

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，由于 $\sigma^2$ 未知，此时不能使用 $\frac{\overline X – \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ 来确定拒绝域。注意到 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计，用 $S$ 代替 $\sigma$，采用

$$\begin{equation} Z = \frac{\overline X – \mu_0}{S / \sqrt{n}} \end{equation}$$

作为检验统计量，当观察值 $|t| = \bigg| \frac{\overline x – \mu_0}{S / \sqrt{n}} \bigg|$ 过分大时就拒绝 $H_0$，拒绝域的形式为

$$\begin{equation} |t| = \bigg| \frac{\overline x – \mu_0}{S / \sqrt{n}} \bigg| \geq k \end{equation}$$

由前文定理三，当 $H_0$ 为真时，$\frac{\overline X – \mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t(n – 1)$，故由

$$\begin{equation} P\{当\;H_0\;为真拒绝\;H_0\} = P_{\mu_0} \bigg\{ \bigg| \frac{\overline X – \mu_0}{S / \sqrt{n}} \bigg| \geq k \bigg\} = \alpha \end{equation}$$

得 $t = t_{\alpha / 2}(n – 1)$，即得拒绝域为

$$\begin{equation} |t| = \bigg| \frac{\overline x – \mu_0}{S / \sqrt{n}} \bigg| \geq t_{\alpha / 2}(n – 1) \tag{1} \end{equation}$$

　　上述利用 $t$ 统计量得出的检验方法称为 $t$ 检验法。在实际应用中，正态总体的方差常为未知，故常用 $t$ 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题。

2. 两个正态总体均值差的检验（$t$ 检验）

　　$t$ 检验法也可以用于检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设。设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu_1, \sigma^2)$ 的样本，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 是来自正态总体 $N(\mu_2, \sigma^2)$ 的样本，且设两样本独立。记两个样本的样本均值分别为 $\overline X, \overline Y$，样本方差分别为 $S_1^2, S_2^2$。设 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2$ 均为未知。对于检验问题

$$\begin{equation} H_0: \mu_1 – \mu_2 = \delta, \quad H_1: \mu_1 – \mu_2 \neq \delta \end{equation}$$

　　使用下述 $t$ 统计量作为检验统计量

$$\begin{equation} t = \frac{(\overline X – \overline Y) – \delta}{S_w^2 \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \end{equation}$$

其中

$$\begin{equation} S_w^2 = \frac{(n_1 – 1)S_1^2 + (n_2 – 1)S_1^2}{n_1 + n_2 – 2}, \quad S_w = \sqrt{S_w^2} \end{equation}$$

当 $H_0$ 为真时，由前文定理四，有 $t \sim t(n_1 + n_2 – 2)$。与单个总体的 $t$ 检验类似，其拒绝域形式为

$$\begin{equation} \Bigg| \frac{(\overline x – \overline y) – \delta}{s_w^2 \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \Bigg| \geq k \end{equation}$$

由

$$\begin{equation} P\{当\;H_0\;为真拒绝\;H_0\} = P_{\mu_1 – \mu_2 = \delta} \Bigg\{ \Bigg| \frac{(\overline X – \overline Y) – \delta}{S_w^2 \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \Bigg| \geq k \Bigg\} = \alpha \end{equation}$$

可得 $k = t_{\alpha / 2}(n_1 + n_2 – 2)$。于是得拒绝域为

$$\begin{equation} |t| = \frac{|(\overline x – \overline y) – \delta|}{s_w^2 \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \geq t_{\alpha / 2}(n_1 + n_2 – 2) \tag{2} \end{equation}$$

　　类似地，当两个正态总体的方差均为已知（不一定相等）时，我们可用 $Z$ 检验法来检验两正态总体均值差的假设问题。

3. 基于成对数据的检验（$t$ 检验）

　　有时为了比较两种产品、两种方法等的差异，常在相同的条件下做对比实验，得到一批成对的观察值，然后分析观察数据做出推断。这种方法常称为逐对观察法。

　　一般地，设有 $n$ 对相互独立的观察结果 $(X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \cdots, (X_n, Y_n)$，令 $D_1 = X_1 – Y_1$，$D_2 = X_2 – Y_2$， $\cdots$，$D_n = X_n – Y_n$，则 $D_1, D_2, \cdots, D_n$ 相互独立。又由于 $D_1, D_2, \cdots, D_n$ 是由同一因素所引起的，可以认为它们服从同一分布。现假设 $D_i \sim N(\mu_D, \sigma_D^2)$（$i = 1, 2, \cdots, n$），也就是说 $D_1, D_2, \cdots, D_n$ 构成正态总体 $N(\mu_D, \sigma_D^2)$ 的一个样本，其中 $\mu_D, \sigma_D^2$ 未知。我们需要基于这一样本检验假设

$$\begin{align} &(1) \quad H_0: \mu_D = 0, \quad, H_1: \mu_D \neq 0 \\ &(2) \quad H_0: \mu_D \leq 0, \quad, H_1: \mu_D > 0 \\ &(3) \quad H_0: \mu_D \geq 0, \quad, H_1: \mu_D < 0 \end{align}$$

分别记 $D_1, D_2, \cdots, D_n$ 的样本均值和样本方差的观察值为 $\overline d, s_D^2$，可知检验问题 $(1),(2),(3)$ 的拒绝域分别为（显著性水平 $\alpha$）:

$$\begin{align} |t| &= \bigg| \frac{\overline d}{s_D / \sqrt{n}} \bigg| \geq t_{\alpha / 2}(n – 1) \\ t &= \frac{\overline d}{s_D / \sqrt{n}} \geq t_{\alpha}(n – 1) \\ t &= \frac{\overline d}{s_D / \sqrt{n}} \leq – t_{\alpha}(n – 1) \end{align}$$