数理统计 Cheat Sheet 14：正态总体方差的假设检验
1. 单个总体的情况
1.1. 双边检验
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu, \sigma^2$ 均未知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的样本。要求检验假设（显著性水平 $\alpha$，其中 $\sigma_0^2$ 为已知常数）
\begin{equation}
H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2, \quad H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2
\end{equation}
由于 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计，当 $H_0$ 为真时，观察值 $s^2$ 与 $\sigma^2$ 的比值 $\frac{s^2}{\sigma^2}$ 一般来说应该在 $1$ 附近摆动，而不应过分大于或过分小于 $1$。由前文定理二，当 $H_0$ 为真时，
\begin{equation}
\frac{(n – 1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n – 1)
\end{equation}
取
\begin{equation}
\chi^2 = \frac{(n – 1)S^2}{\sigma_0^2}
\end{equation}
作为检验统计量，则上述检验问题的拒绝域具有如下的形式：
\begin{equation}
\frac{(n – 1)s^2}{\sigma_0^2} \leq k_1 \quad 或 \quad \frac{(n – 1)s^2}{\sigma_0^2} \geq k_2
\end{equation}
此处 $k_1$ 和 $k_2$ 的值由下式确定
\begin{equation}
P\{当\;H_0\;为真拒绝\;H_0\} = P_{\sigma_0^2} \bigg\{ \bigg( \frac{(n – 1)S^2}{\sigma_0^2} \leq k_1 \bigg) \bigcup \bigg( \frac{(n – 1)S^2}{\sigma_0^2} \geq k_2 \bigg) \bigg\} = \alpha
\end{equation}
为了方便计算，习惯上取
\begin{equation}
P_{\sigma_0^2} \bigg\{ \frac{(n – 1)S^2}{\sigma_0^2} \leq k_1 \bigg\} \leq \chi_{1 – \alpha/2}^2(n – 1) \quad 或 \quad P_{\sigma_0^2} \bigg\{ \frac{(n – 1)S^2}{\sigma_0^2} \geq k_1 \bigg\} \geq \chi_{\alpha/2}^2(n – 1)
\end{equation}
故得 $k_1 = \chi_{1 – \alpha/2}^2(n – 1)$，$k_2 = \chi_{\alpha/2}^2(n – 1)$。于是得拒绝域为
\begin{equation}
\frac{(n – 1)s^2}{\sigma_0^2} \leq \chi_{1 – \alpha/2}^2(n – 1) \quad 或 \quad \frac{(n – 1)s^2}{\sigma_0^2} \geq \chi_{\alpha/2}^2(n – 1) \tag{1}
\end{equation}
1.2. 单边检验
对于显著性水平为 $\alpha$ 的右边检验问题
\begin{equation}
H_0: \sigma^2 \leq \sigma_0^2, \quad H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2 \tag{2}
\end{equation}
因 $H_0$ 中的全部 $\sigma^2$ 都比 $H_1$ 中的 $\sigma^2$ 要小，当 $H_1$ 为真时，$S^2$ 的观察值 $s^2$ 往往偏大，因此拒绝域形式为
\begin{equation}
s^2 \geq k
\end{equation}
为了确定常数 $k$，由
\begin{align}
P\{当\;H_0\;为真时拒绝\;H_0\} &= P_{\sigma^2 \leq \sigma_0^2} \{S^2 \geq k\} \\
&= P_{\sigma^2 \leq \sigma_0^2} \bigg\{ \frac{(n – 1)S^2}{\sigma_0^2} \geq \frac{(n – 1)k}{\sigma_0^2} \bigg\}
&\leq P_{\sigma^2 \leq \sigma_0^2} \bigg\{ \frac{(n – 1)S^2}{\sigma^2} \geq \frac{(n – 1)k}{\sigma_0^2} \bigg\}
\end{align}
上式中不等号成立是因为当 $H_0$ 为真时，$\sigma^2 \leq \sigma_0^2$。要控制 $P\{当\;H_0\;为真时拒绝\;H_0\} \leq \alpha$，只需令
\begin{equation}
P_{\sigma^2 \leq \sigma_0^2} \bigg\{ \frac{(n – 1)S^2}{\sigma^2} \geq \frac{(n – 1)k}{\sigma_0^2} = \alpha \tag{3}
\end{equation}
因 $\frac{(n – 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n – 1)$，由式 $(3)$ 得 $\frac{(n – 1)k}{\sigma_0^2} = \chi_{\alpha}^2(n – 1)$。于是 $k = \frac{\sigma_0^2}{n – 1} \chi_{\alpha}^2(n – 1)$，得到检验问题 $(2)$ 的拒绝域为 $s^2 \geq \frac{\sigma_0^2}{n – 1} \chi_{\alpha}^2(n – 1)$，即
\begin{equation}
\chi^2 = \frac{(n – 1)s^2}{\sigma_0^2} \geq \chi_{\alpha}^2(n – 1) \tag{4}
\end{equation}
类似地，可以得到左边检验问题
\begin{equation}
H_0: \sigma^2 \geq \sigma_0^2, \quad H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2 \tag{2}
\end{equation}
的拒绝域为
\begin{equation}
\chi^2 = \frac{(n – 1)s^2}{\sigma_0^2} \leq \chi_{\alpha}^2(n – 1) \tag{5}
\end{equation}
以上检验法称为 $\chi^2$ 检验法。
2. 两个总体的情况
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 是来自总体 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 的样本，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 是来自总体 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 的样本，且两样本独立，样本方差分别为 $S_1^2, S_2^2$， $\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2$ 均为未知。现在需要检验假设（显著性水平为 $\alpha$）
\begin{equation}
H_0: \sigma_1^2 \geq \sigma_2^2, \quad H_1: \sigma_1^2 \geq \sigma_2^2
\end{equation}
当 $H_0$ 为真时，$E(S_1^2) = \sigma_1^2 \leq \sigma_2^2 = E(S_2^2)$，当 $H_1$ 为真时，$E(S_1^2) = \sigma_1^2 > \sigma_2^2 = E(S_2^2)$。当 $H_1$ 为真时，观察值 $\frac{S_1^2}{S_2^2}$ 有偏大的趋势，故拒绝域有形式
\begin{equation}
\frac{s_1^2}{s_2^2} \geq k
\end{equation}
要确定常数 $k$，由
\begin{align}
P\{当\;H_0\;为真时拒绝\;H_0\} &= P_{\sigma_1^2 \leq \sigma_2^2} \bigg\{ \frac{S_1^2}{S_2^2} \geq k \bigg\} \\
&\leq P_{\sigma_1^2 \leq \sigma_2^2} \bigg\{ \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \geq k \bigg\}
\end{align}
上式中的不等号成立是因为 $\sigma_1^2/\sigma_2^2 \leq 1$。要控制 $P\{当\;H_0\;为真时拒绝\;H_0\} \leq \alpha$，只需令
\begin{equation}
P_{\sigma_1^2 \leq \sigma_2^2} \bigg\{ \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \geq k \bigg\} = \alpha \tag{7}
\end{equation}
由前文定理四，有 $\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1 – 1, n_2 – 1)$，由式 $(7)$ 得 $k = F_\alpha(n_1 – 1, n_2 – 1)$，即得检验问题 $(6)$ 的拒绝域为
\begin{equation}
F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \geq F_\alpha(n_1 – 1, n_2 – 1) \tag{8}
\end{equation}
上述检验法称为 $F$ 检验法。