线性代数 Cheat Sheet 4-5:向量空间的维数
定理 8 蕴含向量空间 V 的基 B 若含有 n 个向量,则 V 与 Rn 同构。数 n 是 V 的一个内在性质(称为维数),不依赖基的选择。
定理 9 若向量空间 V 具有一组基 \mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\},则 V 中任意包含 n 多于个向量的集合一定线性相关。
定理 10 若向量空间 V 有一组基含有 n 个向量,则 V 的每一组基一定恰好有 n 个向量。
如果一个非零向量空间 V 由有限集 S 生成,则由生成集定理,S 的一个子集是 V 的一个基。
定义 若 V 由一个有限集生成,则 V 称为有限维的,V 的维数写成 \dim V,是 V 的基中向量的个数。零向量空间 \{\boldsymbol 0\} 的维数定义为零。如果 V 不是由有限集生成,则 V 称为无穷维的。
\mathbb{R}^n 的标准基含有 n 个向量,所以 \dim \mathbb{R}^n = n。标准多项式基 \{1, t, t^2\} 表明 \dim P_2 = 3。一般而言,\dim P_n = n + 1。所有多项式空间 \mathbb{P} 是无穷维的。
\mathbb{R}^3 的子空间可以用维数分类:
- 零维子空间:只有零子空间是零维子空间。
- 一维子空间:任一由单一非零向量生成的子空间称为一维子空间,这样的子空间是经过原点的直线。
- 二维子空间:任一由两个线性无关向量生成的子空间称为二维子空间,这样的子空间是经过原点的平面。
- 三维子空间:只有 \mathbb{R}^3 本身是三维子空间,由可逆矩阵定理,\mathbb{R}^3 中任意 3 个线性无关的向量生成整个 \mathbb{R}^3。
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1. 有限维空间的子空间
定理 11 令 H 是有限维向量空间 V 的子空间,若有必要的话,H 中任一个线性无关集均可以扩充成为 H 的一个基。H 也是有限维的,并且
\begin{equation} \dim H \leq \dim V \end{equation}
定理 12(基定理)令 V 是一个 p 维向量空间,p \geq 1,V 中任意含有 p 个元素的线性无关集必然是 V 的一个基。任意含有 p 个元素且生成 V 的集合自然是 V 的一个基。
2. \mathrm{Nul}\; A 和 \mathrm{Col}\; A 的维数
\mathrm{Nul}\; A 的维数是方程 A \boldsymbol x = \boldsymbol 0 中自由变量的个数,\mathrm{Col}\; A 的维数是 A 中主元列的个数。