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线性代数 Cheat Sheet 4-5:向量空间的维数

  定理 8 蕴含向量空间 V 的基 B 若含有 n 个向量,则 VRn 同构。数 nV 的一个内在性质(称为维数),不依赖基的选择。

  定理 9 若向量空间 V 具有一组基 \mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\},则 V 中任意包含 n 多于个向量的集合一定线性相关。

  定理 10 若向量空间 V 有一组基含有 n 个向量,则 V 的每一组基一定恰好有 n 个向量。

  如果一个非零向量空间 V 由有限集 S 生成,则由生成集定理,S 的一个子集是 V 的一个基。

  定义 若 V 由一个有限集生成,则 V 称为有限维的V 的维数写成 \dim V,是 V 的基中向量的个数。零向量空间 \{\boldsymbol 0\} 的维数定义为零。如果 V 不是由有限集生成,则 V 称为无穷维的

  \mathbb{R}^n 的标准基含有 n 个向量,所以 \dim \mathbb{R}^n = n。标准多项式基 \{1, t, t^2\} 表明 \dim P_2 = 3。一般而言,\dim P_n = n + 1。所有多项式空间 \mathbb{P} 是无穷维的。

  \mathbb{R}^3 的子空间可以用维数分类:

  • 零维子空间:只有零子空间是零维子空间。
  • 一维子空间:任一由单一非零向量生成的子空间称为一维子空间,这样的子空间是经过原点的直线。
  • 二维子空间:任一由两个线性无关向量生成的子空间称为二维子空间,这样的子空间是经过原点的平面。
  • 三维子空间:只有 \mathbb{R}^3 本身是三维子空间,由可逆矩阵定理,\mathbb{R}^3 中任意 3 个线性无关的向量生成整个 \mathbb{R}^3

1. 有限维空间的子空间

  定理 11 令 H 是有限维向量空间 V 的子空间,若有必要的话,H 中任一个线性无关集均可以扩充成为 H 的一个基。H 也是有限维的,并且

\begin{equation} \dim H \leq \dim V \end{equation}

  定理 12(基定理)令 V 是一个 p 维向量空间,p \geq 1V 中任意含有 p 个元素的线性无关集必然是 V 的一个基。任意含有 p 个元素且生成 V 的集合自然是 V 的一个基。

2. \mathrm{Nul}\; A\mathrm{Col}\; A 的维数

  \mathrm{Nul}\; A 的维数是方程 A \boldsymbol x = \boldsymbol 0 中自由变量的个数,\mathrm{Col}\; A 的维数是 A 中主元列的个数。