线性代数 Cheat Sheet 4-5：向量空间的维数
定理 8 蕴含向量空间 $V$ 的基 $\mathcal{B}$ 若含有 $n$ 个向量，则 $V$ 与 $\mathbb{R}^n$ 同构。数 $n$ 是 $V$ 的一个内在性质（称为维数），不依赖基的选择。
定理 9 若向量空间 $V$ 具有一组基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$，则 $V$ 中任意包含 $n$ 多于个向量的集合一定线性相关。
定理 10 若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好有 $n$ 个向量。
如果一个非零向量空间 $V$ 由有限集 $S$ 生成，则由生成集定理，$S$ 的一个子集是 $V$ 的一个基。
定义 若 $V$ 由一个有限集生成，则 $V$ 称为有限维的，$V$ 的维数写成 $\dim V$，是 $V$ 的基中向量的个数。零向量空间 $\{\boldsymbol 0\}$ 的维数定义为零。如果 $V$ 不是由有限集生成，则 $V$ 称为无穷维的。
$\mathbb{R}^n$ 的标准基含有 $n$ 个向量，所以 $\dim \mathbb{R}^n = n$。标准多项式基 $\{1, t, t^2\}$ 表明 $\dim P_2 = 3$。一般而言，$\dim P_n = n + 1$。所有多项式空间 $\mathbb{P}$ 是无穷维的。
$\mathbb{R}^3$ 的子空间可以用维数分类：
- 零维子空间：只有零子空间是零维子空间。
- 一维子空间：任一由单一非零向量生成的子空间称为一维子空间，这样的子空间是经过原点的直线。
- 二维子空间：任一由两个线性无关向量生成的子空间称为二维子空间，这样的子空间是经过原点的平面。
- 三维子空间：只有 $\mathbb{R}^3$ 本身是三维子空间，由可逆矩阵定理，$\mathbb{R}^3$ 中任意 3 个线性无关的向量生成整个 $\mathbb{R}^3$。
1. 有限维空间的子空间
定理 11 令 $H$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，若有必要的话，$H$ 中任一个线性无关集均可以扩充成为 $H$ 的一个基。$H$ 也是有限维的，并且
\begin{equation}
\dim H \leq \dim V
\end{equation}
定理 12（基定理）令 $V$ 是一个 $p$ 维向量空间，$p \geq 1$，$V$ 中任意含有 $p$ 个元素的线性无关集必然是 $V$ 的一个基。任意含有 $p$ 个元素且生成 $V$ 的集合自然是 $V$ 的一个基。
2. $\mathrm{Nul}\; A$ 和 $\mathrm{Col}\; A$ 的维数
$\mathrm{Nul}\; A$ 的维数是方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 中自由变量的个数，$\mathrm{Col}\; A$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数。