线性代数 Cheat Sheet 4-4：坐标系

Author: nex3z 2018-11-29

1. 坐标系

　　定理 7（唯一坐标定理）令 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$ 是向量空间 $V$ 的一个基，则对 $V$ 中每个向量 $\boldsymbol x$，存在唯一的一组数 $c_1, \cdots, c_n$，使得

$$\begin{equation} \boldsymbol x = c_1 \boldsymbol b_1 + \cdots + c_n \boldsymbol b_n \end{equation}$$

　　定义　假设 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$ 是 $V$ 的一个基，$\boldsymbol x$ 在 $V$ 中，$\boldsymbol x$ 相对于基 $\mathcal{B}$ 的坐标（或 $\boldsymbol x$ 的 $\mathcal{B}-$ 坐标）是使得 $\boldsymbol x = c_1 \boldsymbol b_1 + \cdots + c_n \boldsymbol b_n$ 的权 $c_1, \cdots, c_n$。

　　若 $c_1, \cdots, c_n$ 是 $\boldsymbol x$ 的 $\mathcal{B}-$ 坐标向量，映射 $\boldsymbol x \mapsto [\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 称为（由 $\mathcal{B}$ 确定的）坐标映射。

2. $\mathbb{R}^n$ 中的坐标

　　对于 $\mathbb{R}^n$ 中的一个基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$，令

$$\begin{equation} P_\mathcal{B} = \begin{bmatrix}\boldsymbol b_1 & \boldsymbol b_2 & \cdots & \boldsymbol b_n\end{bmatrix} \end{equation}$$

则向量方程

$$\begin{equation} \boldsymbol x = c_1 \boldsymbol b_1 + c_2 \boldsymbol b_2 + \cdots + c_n \boldsymbol b_n \end{equation}$$

等价于

$$\begin{equation} \boldsymbol x = P_\mathcal{B} [\boldsymbol x]_\mathcal{B} \end{equation}$$

称 $P_\mathcal{B}$ 为从 $\mathcal{B}$ 到 $\mathbb{R}^n$ 中标准基的坐标变换矩阵。通过左乘 $P_\mathcal{B}$ 将坐标向量 $[\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 变换到 $\boldsymbol x$。

　　由于 $P_\mathcal{B}$ 的列构成 $\mathbb{R}^n$ 的一个基，故 $P_\mathcal{B}$ 是可逆的（由可逆矩阵定理）。通过左乘 $P_\mathcal{B}^{-1}$ 可将 $\boldsymbol x$ 变换到 $[\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 向量：

$$\begin{equation} P_\mathcal{B}^{-1} \boldsymbol x = [\boldsymbol x]_\mathcal{B} \end{equation}$$

这里由 $P_\mathcal{B}^{-1}$ 产生的映射 $\boldsymbol x \mapsto [\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 是一个坐标映射。因为 $P_\mathcal{B}^{-1}$ 是可逆的，由可逆矩阵定理，此坐标映射一个 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^n$ 上的一对一的线性变换。坐标映射的这个性质对具有一个基的一般向量空间也成立。

3. 坐标映射

　　对向量空间 $V$ 选定一个基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$，它引出 $V$ 中一个坐标系。坐标映射 $\boldsymbol x \mapsto [\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 将可能不熟悉的空间 $V$ 与熟悉的空间 $\mathbb{R}^n$ 联系了起来。

　　定理 8　令 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$ 是向量空间 $V$ 的一个基，则坐标映射 $\boldsymbol x \mapsto [\boldsymbol x]_\mathcal{B}$ 是一个有 $V$ 映上到 $\mathbb{R}^n$ 的一对一映射。

　　坐标映射是一个线性变换，其线性性可以推广到线性组合。若 $\boldsymbol u_1, \cdots, \boldsymbol u_p$ 在 $V$ 中，$c_1, \cdots, c_p$ 是数，则

$$\begin{equation} [c_1 \boldsymbol u_1 + \cdots + c_p \boldsymbol u_p]_\mathcal{B} = c_1[\boldsymbol u_1]_\mathcal{B} + \cdots + c_p[\boldsymbol u_p]_\mathcal{B} \end{equation}$$

即 $\boldsymbol u_1, \cdots, \boldsymbol u_p$ 的一个线性组合的 $\mathcal{B}-$ 坐标向量等于它们 $\mathcal{B}-$ 坐标向量的相同的线性组合。

　　定理 8 中的坐标映射是一个由 $V$ 到 $\mathbb{R}^n$ 上同构的重要例子。一般而言，从一个向量空间 $V$ 映上到另一个向量空间 $W$ 的一对一线性变换称为从 $V$ 到 $W$ 上的一个同构（isomorphism）。$V$ 和 $W$ 的记号和术语可能不同，但这两个空间作为向量空间则不加以区分，每一个在 $V$ 中的向量空间的计算可以完全相同地出现在 $W$ 中，反之亦然。