线性代数 Cheat Sheet 4-3:线性无关集和基
对于 V 中向量的一个指标集 {v1,⋯,vp},如果
c1v1+c2v2+⋯+cpvp=0
只有平凡解,即 c1=0,⋯,cp=0,则称 {v1,⋯,vp} 是线性无关的。
如果式 (1) 有一个非平凡解,即存在某些权 c1,⋯,cp 不全为零,使得 (1) 成立,此时集合 {v1,⋯,vp} 称为是先行相关的,(1) 式称为 v1,⋯,vp 之间的一个线性相关关系。
与 Rn 中一样,一个仅含一个向量 v 的集合是线性无关的,当且仅当 v≠0;一个仅含两个向量的集合是线性相关的,当且仅当其中一个向量是另一个的倍数;任何含有零向量的集合都是线性相关的。
定理 4 两个或多个向量组成的有编号的向量集合 {v1,⋯,vp}(如果 v1≠0)是线性相关的,当且仅当某 vj(j>1)是前面向量 v1,⋯,vj−1 的线性组合。
定义 令 H 是向量空间 V 的一个子空间,对于 V 中向量的指标集 B={b1,⋯,bp},如果:
(i) B 是一个线性无关集。
(ii) 由 B 生成的子空间与 H 相同,即 H=Span{b1,⋯,bp}。
则称 B={b1,⋯,bp} 为 H 的一个基。
集合 {e1,⋯,en} 称为 Rn 的一个标准基。
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1. 生成集定理
一个基是一个不包含不必要向量的“高效率”的生成集。一个基可以通过由一个生成集中去掉不需要的向量构造出来。
定理 5(生成集定理)令 S={v1,⋯,vp} 是 V 中的向量集,H=Span{v1,⋯,vp}。
a. 若 S 中某一个向量(例如 vk)是 S 中其余向量的线性组合,则 S 中去掉 vk 后形成的集合仍然可以生成 H。
b. 若 H≠0,则 S 的某一子集是 H 的一个基。
2. NulA 和 ColA 的基
定理 6 矩阵 A 的主元列构成 ColA 的一个基。
当矩阵 A 不是阶梯型时,可以将其行化简为阶梯型 B,来找到 A 的主元列。阶梯型 B 的主元列通常不在 A 的列空间中。
3. 关于基的两点观察
基是一个尽可能小的生成集,是一个尽可能大的线性无关集。