线性代数 Cheat Sheet 4-3：线性无关集和基
对于 $V$ 中向量的一个指标集 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$，如果
\begin{equation}
c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + c_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag{1}
\end{equation}
只有平凡解，即 $c_1 = 0, \cdots, c_p = 0$，则称 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 是线性无关的。
如果式 $(1)$ 有一个非平凡解，即存在某些权 $c_1, \cdots, c_p$ 不全为零，使得 $(1)$ 成立，此时集合 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 称为是先行相关的，$(1)$ 式称为 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 之间的一个线性相关关系。
与 $\mathbb{R}^n$ 中一样，一个仅含一个向量 $\boldsymbol v$ 的集合是线性无关的，当且仅当 $\boldsymbol v \neq \boldsymbol 0$；一个仅含两个向量的集合是线性相关的，当且仅当其中一个向量是另一个的倍数；任何含有零向量的集合都是线性相关的。
定理 4 两个或多个向量组成的有编号的向量集合 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$（如果 $\boldsymbol v_1 \neq \boldsymbol 0$）是线性相关的，当且仅当某 $\boldsymbol v_j$（$j > 1$）是前面向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_{j-1}$ 的线性组合。
定义 令 $H$ 是向量空间 $V$ 的一个子空间，对于 $V$ 中向量的指标集 $\mathcal{B} = \{b_1, \cdots, b_p\}$，如果：
(i) $\mathcal{B}$ 是一个线性无关集。
(ii) 由 $\mathcal{B}$ 生成的子空间与 $H$ 相同，即 $H = \mathrm{Span} \{b_1, \cdots, b_p\}$。
则称 $\mathcal{B} = \{b_1, \cdots, b_p\}$ 为 $H$ 的一个基。
集合 $\{\boldsymbol e_1, \cdots, \boldsymbol e_n\}$ 称为 $\mathbb{R}^n$ 的一个标准基。
1. 生成集定理
一个基是一个不包含不必要向量的“高效率”的生成集。一个基可以通过由一个生成集中去掉不需要的向量构造出来。
定理 5（生成集定理）令 $S = \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 是 $V$ 中的向量集，$H = \mathrm{Span} \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$。
a. 若 $S$ 中某一个向量（例如 $\boldsymbol v_k$）是 $S$ 中其余向量的线性组合，则 $S$ 中去掉 $\boldsymbol v_k$ 后形成的集合仍然可以生成 $H$。
b. 若 $H \neq 0$，则 $S$ 的某一子集是 $H$ 的一个基。
2. $\mathrm{Nul}\; A$ 和 $\mathrm{Col}\; A$ 的基
定理 6 矩阵 $A$ 的主元列构成 $\mathrm{Col}\; A$ 的一个基。
当矩阵 $A$ 不是阶梯型时，可以将其行化简为阶梯型 $B$，来找到 $A$ 的主元列。阶梯型 $B$ 的主元列通常不在 $A$ 的列空间中。
3. 关于基的两点观察
基是一个尽可能小的生成集，是一个尽可能大的线性无关集。