线性代数 Cheat Sheet 4-3:线性无关集和基
对于 V 中向量的一个指标集 \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\},如果
\begin{equation} c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + c_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag{1} \end{equation}
只有平凡解,即 c_1 = 0, \cdots, c_p = 0,则称 \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\} 是线性无关的。
如果式 (1) 有一个非平凡解,即存在某些权 c_1, \cdots, c_p 不全为零,使得 (1) 成立,此时集合 \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\} 称为是先行相关的,(1) 式称为 \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p 之间的一个线性相关关系。
与 \mathbb{R}^n 中一样,一个仅含一个向量 \boldsymbol v 的集合是线性无关的,当且仅当 \boldsymbol v \neq \boldsymbol 0;一个仅含两个向量的集合是线性相关的,当且仅当其中一个向量是另一个的倍数;任何含有零向量的集合都是线性相关的。
定理 4 两个或多个向量组成的有编号的向量集合 \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}(如果 \boldsymbol v_1 \neq \boldsymbol 0)是线性相关的,当且仅当某 \boldsymbol v_j(j > 1)是前面向量 \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_{j-1} 的线性组合。
定义 令 H 是向量空间 V 的一个子空间,对于 V 中向量的指标集 \mathcal{B} = \{b_1, \cdots, b_p\},如果:
(i) \mathcal{B} 是一个线性无关集。
(ii) 由 \mathcal{B} 生成的子空间与 H 相同,即 H = \mathrm{Span} \{b_1, \cdots, b_p\}。
则称 \mathcal{B} = \{b_1, \cdots, b_p\} 为 H 的一个基。
集合 \{\boldsymbol e_1, \cdots, \boldsymbol e_n\} 称为 \mathbb{R}^n 的一个标准基。
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1. 生成集定理
一个基是一个不包含不必要向量的“高效率”的生成集。一个基可以通过由一个生成集中去掉不需要的向量构造出来。
定理 5(生成集定理)令 S = \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\} 是 V 中的向量集,H = \mathrm{Span} \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}。
a. 若 S 中某一个向量(例如 \boldsymbol v_k)是 S 中其余向量的线性组合,则 S 中去掉 \boldsymbol v_k 后形成的集合仍然可以生成 H。
b. 若 H \neq 0,则 S 的某一子集是 H 的一个基。
2. \mathrm{Nul}\; A 和 \mathrm{Col}\; A 的基
定理 6 矩阵 A 的主元列构成 \mathrm{Col}\; A 的一个基。
当矩阵 A 不是阶梯型时,可以将其行化简为阶梯型 B,来找到 A 的主元列。阶梯型 B 的主元列通常不在 A 的列空间中。
3. 关于基的两点观察
基是一个尽可能小的生成集,是一个尽可能大的线性无关集。