线性代数 Cheat Sheet 4-2：零空间、列空间和线性变换

Author: nex3z 2018-11-27

　　在线性代数的应用中，$\mathbb{R}^n$ 的子空间通常由以下两种方式产生：（1）作为齐次线性方程组的解集；（2）作为某些确定向量的线性组合的集合。

1. 矩阵的零空间

　　满足 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的所有 $\boldsymbol x$ 的集合称为矩阵 $A$ 的零空间。

　　定义　矩阵 $A$ 的零空间写成 $\mathrm{Nul}\; A$，是齐次方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的全体解的集合。用集合符号表示，即

$$\begin{equation} \mathrm{Nul}\; A = \{\boldsymbol x: \boldsymbol x \in \mathbb{R}^n, \; A \boldsymbol x = \boldsymbol 0\} \end{equation}$$

　　$\mathrm{Nul}\; A$ 的更进一步的描述为 $\mathbb{R}^n$ 中通过线性变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$ 映射到 $\mathbb{R}^m$ 中的零向量的全体向量 $\boldsymbol x$ 的集合。

　　一个矩阵的零空间是一个向量空间。

　　定理 2　$m \times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。等价地，$m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次线性方程组 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的全体解的集合是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。

　　注意上面定理中“齐次”这个条件时很重要的。对于非齐次方程组，零向量不是它的解，方程组的解集不能确定一个子空间；而且解集可能是空集。

　　$\mathrm{Nul}\; A$ 中向量与 $A$ 中的元素之间没有明显的关系，称 $\mathrm{Nul}\; A$ 被隐式地定义。

2. 矩阵的列空间

　　矩阵的列空间由列向量的线性组合显式地定义。

　　定义　$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间（记为 $\mathrm{Col}\; A$）是由 $A$ 的列的所有线性组合组成的集合。若 $A = [\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n]$，则 $\mathrm{Col}\; A = \mathrm{Span} \{\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n\}$。

　　定理 3　$m \times n$ 矩阵的列空间是 $\mathbb{R}^m$ 的一个子空间。

　　注意 $\mathrm{Col}\; A$ 中一个典型向量可写成 $A \boldsymbol x$ 的形式，其中 $\boldsymbol x$ 为某向量，这是因为 $A \boldsymbol x$ 表示 $A$ 的列向量的一个线性组合，即

$$\begin{equation} \mathrm{Col}\; A = \{\boldsymbol b: \boldsymbol b = A \boldsymbol x, \; \boldsymbol x \in \mathbb{R}^n\} \end{equation}$$

上式中的 $A \boldsymbol x$ 也表明 $\mathrm{Col}\; A$ 是线性变换 $\boldsymbol x \mapsto A\boldsymbol x$ 的值域。

　　前面定理 4 说明 $A$ 的列生成 $\mathbb{R}^m$ 当且仅当方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 对任意 $\boldsymbol b$ 有解，这一事实可以重述为：

　　$m \times n$ 矩阵 $A$ 的列空间等于 $\mathbb{R}^m$ 当且仅当 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 对 $\mathbb{R}^m$ 中的每个 $\boldsymbol b$ 有一个解。

3. 线性变换的核与值域

　　定义　由向量空间 $V$ 映射到向量空间 $W$ 内的线性变换 $T$ 是一个规则，它将 $V$ 中每个向量 $\boldsymbol x$ 映射成 $W$ 中唯一向量 $T(\boldsymbol x)$，且满足：
(i) $T(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = T(\boldsymbol u) + T(\boldsymbol v)$，对 $V$ 中所有 $\boldsymbol u, \boldsymbol v$ 均成立。
(ii) $T(c \boldsymbol u) = cT(\boldsymbol u)$，对 $V$ 中所有 $\boldsymbol u$ 及所有数 $c$ 均成立。

　　线性变换 $T$ 的核（或零空间）是 $V$ 中所有满足 $T(\boldsymbol u) = \boldsymbol 0$ 的向量 $\boldsymbol u$ 的集合（$\boldsymbol 0$ 为 $W$ 中的零向量），它是一个子空间。$T$ 的值域是 $W$ 中所有具有形式 $T(\boldsymbol x)$（任意 $\boldsymbol x \in V$）的向量的集合。如果 $T$ 是由一个矩阵变换得到的，比如对某矩阵 $A$，$T(\boldsymbol x) = A \boldsymbol x$，则 $T$ 的核与值域恰好是 $A$ 的零空间和列空间。

　　在应用中，一个子空间往往由一个适当的线性变换和核或值域产生。比如一个齐次线性微分方程的全部解的集合是一个线性变换的核。