线性代数 Cheat Sheet 4-1：向量空间与子空间
定义 一个向量空间是有一些被称为向量的对象构成的非空集合 $V$，在这个集合上定义了两个运算，称为加法和标量乘法（标量取实数），服从以下公理（或法则），这些公理必须对 $V$ 中所有向量 $\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w$ 及所有标量（或称数）$c$ 和 $d$ 均成立。
1. $\boldsymbol u, \boldsymbol v$ 之和（表示为 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$）属于 $V$。
2. $\boldsymbol u + \boldsymbol v = \boldsymbol v + \boldsymbol u$。
3. $(\boldsymbol u + \boldsymbol v) + \boldsymbol w = \boldsymbol u + (\boldsymbol v + \boldsymbol w)$。
4. $V$ 中存在一个零向量 $\boldsymbol 0$，使得 $\boldsymbol u + \boldsymbol 0 = \boldsymbol u$。
5. 对 $V$ 中每个向量 $\boldsymbol u$，存在 $V$ 中一个向量 $-\boldsymbol u$，使得 $\boldsymbol u + (-\boldsymbol u) = \boldsymbol 0$。
6. $\boldsymbol u$ 与标量 $c$ 的标量乘法（记为 $c\boldsymbol u$）属于 $V$。
7. $c(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = c \boldsymbol u + c \boldsymbol v$。
8. $(c + d)\boldsymbol u = c \boldsymbol u + d \boldsymbol u$。
9. $c(d \boldsymbol u) = (cd) \boldsymbol u$。
10. $1 \boldsymbol u = \boldsymbol u$。
零向量是唯一的。向量 $-\boldsymbol u$ 称为 $\boldsymbol u$ 的负向量，是唯一的。
对 $V$ 中每个向量 $\boldsymbol u$ 和任意标量 $c$，有
\begin{equation}
0 \boldsymbol u = \boldsymbol 0 \\
c \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0 \\
-\boldsymbol u = (-1)\boldsymbol u
\end{equation}
Contents
1. 子空间
定义 向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的一个满足以下三个性质的子集 $H$：
a. $V$ 中的零向量在 $H$ 中。
b. $H$ 对向量加法封闭，即对 $H$ 中任意向量 $\boldsymbol u, \boldsymbol v$，和 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 仍在 $H$ 中。
c. $H$ 对标量乘法封闭，即对 $H$ 中任意向量 $\boldsymbol u$ 和任意标量 $c$，向量 $c \boldsymbol u$ 仍在 $H$ 中。
每个子空间都是一个向量空间，每个向量空间是一个子空间（针对本身或其他更大的空间而言）。对两个向量空间，若其中一个在另一个内部，此时使用子空间这个词。
2. 由一个集合生成的子空间
定理 1 若 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 在向量空间 $V$ 中，则 $\mathrm{Span} \{ \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p \}$ 是 $V$ 的一个子空间。
我们称 $\mathrm{Span} \{ \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p \}$ 是由 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 生成（或张成）的子空间。给定 $V$ 的任意子空间 $H$，$H$ 的生成（或张成）集是集合 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\} \subset H$，满足 $H = \mathrm{Span} \{ \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p \}$。