线性代数 Cheat Sheet 4-1：向量空间与子空间
定义 一个向量空间是有一些被称为向量的对象构成的非空集合 V，在这个集合上定义了两个运算，称为加法和标量乘法（标量取实数），服从以下公理（或法则），这些公理必须对 V 中所有向量 \boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w 及所有标量（或称数）c 和 d 均成立。
1. \boldsymbol u, \boldsymbol v 之和（表示为 \boldsymbol u + \boldsymbol v）属于 V。
2. \boldsymbol u + \boldsymbol v = \boldsymbol v + \boldsymbol u。
3. (\boldsymbol u + \boldsymbol v) + \boldsymbol w = \boldsymbol u + (\boldsymbol v + \boldsymbol w)。
4. V 中存在一个零向量 \boldsymbol 0，使得 \boldsymbol u + \boldsymbol 0 = \boldsymbol u。
5. 对 V 中每个向量 \boldsymbol u，存在 V 中一个向量 -\boldsymbol u，使得 \boldsymbol u + (-\boldsymbol u) = \boldsymbol 0。
6. \boldsymbol u 与标量 c 的标量乘法（记为 c\boldsymbol u）属于 V。
7. c(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = c \boldsymbol u + c \boldsymbol v。
8. (c + d)\boldsymbol u = c \boldsymbol u + d \boldsymbol u。
9. c(d \boldsymbol u) = (cd) \boldsymbol u。
10. 1 \boldsymbol u = \boldsymbol u。
零向量是唯一的。向量 -\boldsymbol u 称为 \boldsymbol u 的负向量，是唯一的。
对 V 中每个向量 \boldsymbol u 和任意标量 c，有
\begin{equation} 0 \boldsymbol u = \boldsymbol 0 \\ c \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0 \\ -\boldsymbol u = (-1)\boldsymbol u \end{equation}
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1. 子空间
定义 向量空间 V 的一个子空间是 V 的一个满足以下三个性质的子集 H：
a. V 中的零向量在 H 中。
b. H 对向量加法封闭，即对 H 中任意向量 \boldsymbol u, \boldsymbol v，和 \boldsymbol u + \boldsymbol v 仍在 H 中。
c. H 对标量乘法封闭，即对 H 中任意向量 \boldsymbol u 和任意标量 c，向量 c \boldsymbol u 仍在 H 中。
每个子空间都是一个向量空间，每个向量空间是一个子空间（针对本身或其他更大的空间而言）。对两个向量空间，若其中一个在另一个内部，此时使用子空间这个词。
2. 由一个集合生成的子空间
定理 1 若 \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p 在向量空间 V 中，则 \mathrm{Span} \{ \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p \} 是 V 的一个子空间。
我们称 \mathrm{Span} \{ \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p \} 是由 \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\} 生成（或张成）的子空间。给定 V 的任意子空间 H，H 的生成（或张成）集是集合 \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\} \subset H，满足 H = \mathrm{Span} \{ \boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p \}。