线性代数 Cheat Sheet 3-3：克拉默法则、体积和线性变换
对任意 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和任意 $\mathbb{R}^n$ 中的向量 $\boldsymbol b$，令 $A_i(\boldsymbol b)$ 表示 $A$ 中第 $i$ 列由向量 $\boldsymbol b$ 替换得到的矩阵：
\begin{equation}
A_i(\boldsymbol b) = \begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \cdots & \boldsymbol a_{i-1} & \boldsymbol b & \boldsymbol a_{i+1} & \cdots & \boldsymbol a_n \end{bmatrix}
\end{equation}
定理 7（克拉默法则）设 $A$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，对 $\mathbb{R}^n$ 中任意向量 $\boldsymbol b$，方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 的唯一解可由下式给出：
\begin{equation}
x_i = \frac{\det A_i(\boldsymbol b)}{\det A}, \; i = 1, 2, \cdots, n \tag{1}
\end{equation}
用 $\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n$ 表示 $A$ 的列，用 $\boldsymbol e_1, \cdots, \boldsymbol e_n$ 表示 $n \times n$ 单位矩阵 $I$ 的列。若 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$，则由矩阵乘法的定义，有
\begin{align}
A \cdot I_i(\boldsymbol x) &= A \begin{bmatrix} \boldsymbol e_1 & \cdots & \boldsymbol x & \cdots & \boldsymbol e_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \boldsymbol e_1 & \cdots & A \boldsymbol x & \cdots & A \boldsymbol e_n \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \cdots & \boldsymbol b & \cdots & \boldsymbol a_n\end{bmatrix} = A_i(\boldsymbol b)
\end{align}
由行列式的乘法性质
\begin{equation}
(\det A)(\det I_i(\boldsymbol x)) = \det A_i(\boldsymbol b)
\end{equation}
等号左边第二个行列式 $\det I_i(\boldsymbol x) = x_i$，从而 $(\det A) x_i = \det A_i(\boldsymbol b)$。由于 $A$ 可逆，从而 $\det A \neq 0$，于是有 $(1)$ 式成立。
克拉默法则可以用来研究 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 的解受 $\boldsymbol b$ 中元素的变化而受到的影响。
1. 一个求 $A^{-1}$ 的公式
定理 8（逆矩阵公式）设 $A$ 是一个可逆的 $n \times n$ 矩阵，则 $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}\; A$。其中，$\mathrm{adj}\; A$ 为 $A$ 的伴随矩阵
\begin{equation}
\mathrm{adj}\; A =
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
\end{bmatrix}
\end{equation}
$C_{ij}$ 是 $A$ 的 $(i, j)$ 余因子。
2. 用行列式表示面积或体积
定理 9 若 $A$ 是一个 $2 \times 2$ 矩阵，则由 $A$ 的列确定的平行四边形的面积为 $|\det A|$。若 $A$ 是一个 $3 \times 3$ 矩阵，则由 $A$ 的列确定的平行六面体的体积为 $|\det A|$
设 $\boldsymbol a_1$ 和 $\boldsymbol a_2$ 为非零向量，则对任意数 $c$，由 $\boldsymbol a_1$ 和 $\boldsymbol a_2$ 确定的平行四边形的面积等于由 $\boldsymbol a_1$ 和 $\boldsymbol a_2 + c \boldsymbol a_1$ 确定的平行四边形的面积。
3. 线性变换
定理 10 设 $T: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2$ 是一个由 $2 \times 2$ 矩阵 $A$ 确定的线性变换，若 $S$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中一个平行四边形，则
\begin{equation}
\{T(S) 的面积\} = |\det A| \cdot \{S 的面积\}
\end{equation}
若 $T$ 是一个由 $3 \times 3$ 矩阵 $A$ 确定的线性变换，而 $S$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的一个平行六面体，则
\begin{equation}
\{T(S) 的体积\} = |\det A| \cdot \{S 的体积\}
\end{equation}
定理 10 的结论对 $\mathbb{R}^2$ 中任意具有有限面积的区域或 $\mathbb{R}^3$ 中具有有限体积的区域均成立。