线性代数 Cheat Sheet 3-1：行列式介绍

Author: nex3z 2018-11-24

　　定义　当 $n \geq 2$ 时，$n \times n$ 矩阵 $A = [a_{ij}]$ 的行列式是形如 $\pm a_{1j} \det A_{1j}$ 的 $n$ 个项的和，其中加号和减号交替出现，元素 $a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n}$ 来自 $A$ 的第一行，用符号表示为：

$$\begin{align} \det A &= a_{11} \cdot \det A_{11} – a_{12} \cdot \det A_{12} + \cdots + (-1)^{1 + n} a_{1n} \cdot \det A_{1n} \\ & = \sum_{j = 1}^n (-1)^{1 + j} a_{1j} \det A_{1j} \end{align}$$

　　其中，$A_{ij}$ 表示通过删去 $A$ 中第 $i$ 行和第 $j$ 列而得到的矩阵。

　　给定 $A = [a_{ij}]$，$A$ 的 $(i, j)$ 余因子 $C_{ij}$ 由下式给出：

$$\begin{equation} C_{ij} = (-1)^{i + j} \det A_{ij} \end{equation}$$

则

$$\begin{equation} \det A = a_{11} \cdot C_{11} + a_{12} \cdot C_{12} + \cdots + a_{1n} \cdot C_{1n} \end{equation}$$

这个公式称为按 $A$ 的第一行的余因子展开式。

　　定理 1　$n \times n$ 矩阵 $A$ 的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。按第 $i$ 行的余因子展开式为：

$$\begin{equation} \det A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} \end{equation}$$

按第 $j$ 列的余因子展开式为：

$$\begin{equation} \det A = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} \end{equation}$$

　　$(i, j)$ 余因子中加号或减号取决于 $a_{ij}$ 在矩阵中的位置，而与 $a_{ij}$ 本身的符号无关。因子 $(-1)^{i + j}$ 可确定下面符号的棋盘模式：

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} + & – & + & \cdots \\ – & + & – \\ + & – & + \\ \vdots & & & \ddots \end{bmatrix} \end{equation}$$

　　定理 2　若 $A$ 为三角阵，则 $\det A$ 等于 $A$ 的主对角线上元素的乘积。

　　对于计算三角阵的行列式时，依次以主元位置所在的列进行余因子展开，结果即为主对角线上元素的乘积。