线性代数 Cheat Sheet 2-8：R^n 的子空间
定义 $\mathbb{R}^n$ 中的一个子空间是 $\mathbb{R}^n$ 中的集合 $H$，具有以下三个性质：
a. 零向量属于 $H$。
b. 对 $H$ 中任意的向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$，向量 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 属于 $H$。
c. 对 $H$ 中任意的向量 $\boldsymbol u$ 和数 $c$，向量 $c \boldsymbol u$ 属于 $H$。
换句话说，子空间对加法和标量乘法是封闭的。通过原点的一个平面是一种很典型的子空间。
通常子空间与某个矩阵 $A$ 有关，它们提供了关于方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 的有用信息。
设 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 属于 $\mathbb{R}^n$，$\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 的所有线性组合是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，称 $\mathrm{Span}\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 为由 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 生成（或张成）的子空间。
注意 $\mathbb{R}^n$ 是它本身的子空间，因为三个性质都满足。另一个特殊的子空间是仅含零向量的集合，它也满足子空间的条件，称为零子空间。
Contents
1. 矩阵的列空间与零空间
定义 矩阵 $A$ 的列空间是 $A$ 的各列的线性组合的集合，记作 $\mathrm{Col}\; A$。
若 $A = \begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \cdots & \boldsymbol a_n\end{bmatrix}$，它们各列属于 $\mathbb{R}^m$，则 $\mathrm{Col}\; A$ 和 $\mathrm{Span} \{\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n \}$ 相同。$m \times n$ 矩阵的列空间是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间。注意，仅当 $A$ 的列生成 $\mathbb{R}^m$ 时，$\mathrm{Col}\; A$ 等于 $\mathbb{R}^m$；否则，$\mathrm{Col}\; A$ 仅是 $\mathbb{R}^m$ 的一部分。
定义 矩阵 $A$ 的零空间是齐次方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的所有解的集合，记为 $\mathrm{Nul}\; A$。
当 $A$ 有 $n$ 列时，$A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的解属于 $\mathbb{R}^n$。$A$ 的零空间是 $\mathbb{R}^n$ 的子集。事实上，$\mathrm{Nul}\; A$ 具有 $\mathbb{R}^n$ 的子空间的性质。
定理 12 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。等价地，$n$ 个未知数的 $m$ 个齐次线性方程的方程组 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的所有解的集合是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。
为检验给定向量 $\boldsymbol v$ 是否属于 $\mathrm{Nul}\; A$，只要计算 $A \boldsymbol v$，看它是否为零向量。因 $\mathrm{Nul}\; A$ 是用其中每个向量必须满足的一个条件来描述的，所以说零空间是隐式定义的。相反，列空间是显式定义的，因 $\mathrm{Col}\; A$ 中的列向量可以由 $A$ 的各列（利用线性组合）构造出来。为了建立 $\mathrm{Nul}\; A$ 的显式描述，解 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 这个方程，把解集写成参数向量形式。
2. 子空间的基
因为子空间一般含有无穷多个向量，故子空间中的问题最好能够通过研究生成这个子空间的一个小的有限集合来解决，这个集合越小越好。可以证明，最小可能的生成集合必是线性无关的。
定义 $\mathbb{R}^n$ 中子空间 $H$ 的一组基是 $H$ 中一个线性无关集，它生成 $H$。
可逆 $n \times n$ 矩阵的各列构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基，因为它们线性无关，而且生成 $\mathbb{R}^n$。
单位矩阵 $I_n$ 的各列 $\{\boldsymbol e_1, \cdots, \boldsymbol e_n\}$ 称为 $\mathbb{R}^n$ 的标准基。
定理 13 矩阵 $A$ 的主元列构成 $A$ 的列空间的基。
当矩阵 $A$ 行化简为阶梯型 $B$ 时，它的列虽然改变，但方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 和 $B \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 有相同的解集，即 $A$ 的列和 $B$ 的列具有相同的线性相关关系。需要注意的是，要使用 $A$ 的主元列本身作为 $\mathrm{Col}\; A$ 的基，阶梯型 $B$ 的列通常不在 $A$ 的列空间内。