线性代数 Cheat Sheet 2-6：列昂惕夫投入产出模型
设某国经济体系分为 $n$ 个部门，这些部门生产商品和服务。设 $\boldsymbol x$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中产出向量，它列出了每一部门一年中的产出。同时，设经济体系的另一部分（称为开放部门）不生产商品或服务，仅仅消费商品或服务，设 $\boldsymbol d$ 为最终需求向量（或最终需求账单），它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求、政府消费、超额生产、出口或其他外部需求。
由于各部门生产商品以满足消费者需求，生产者本身创造了中间需求，需要这些产品作为生产部门的投入。
假设对每个部门，$\mathbb{R}$ 中存在一个单位消费向量，它列出了该部门单位产出所需的投入。假设某一部门的单位消费向量为 $\boldsymbol c_1$，则该部门生产 $x_1$ 单位产品所需要消耗的中间需求是 $x_1 \boldsymbol c_1$。对于 $n$ 个部门的体系，记消耗矩阵 $C = \begin{bmatrix} \boldsymbol c_1 & \cdots \boldsymbol c_n\end{bmatrix}$。在通常情况下，某一消耗矩阵的列的和是小于 $1$ 的，因为一个部门要生产一单位产出所需投入的总价值应该小于 $1$。
列昂惕夫投入产出模型或生产方程
\begin{equation}
\boldsymbol x = C \boldsymbol x + \boldsymbol d \tag{1}
\end{equation}
\begin{equation}
总产出 = 中间需求 + 最终需求
\end{equation}
可把式 $(1)$ 重写为
\begin{equation}
I \boldsymbol x – C \boldsymbol x = \boldsymbol d \\
(I – C) \boldsymbol x = \boldsymbol d
\end{equation}
在大部分实际情况中，$I – C$ 是可逆的，而且产出向量 $\boldsymbol x$ 是经济上可行的，即 $\boldsymbol x$ 中的元素时非负的。
定理 11 设 $C$ 为某一经济体系的消耗矩阵，$\boldsymbol d$ 为最终需求。若 $C$ 和 $\boldsymbol d$ 的元素非负，$C$ 的每一列的和小于 $1$，则 $(I – C)^{-1}$ 存在，产出向量
\begin{equation}
\boldsymbol x = (I – C)^{-1} \boldsymbol d
\end{equation}
有非负元素，且是下列方程的唯一解：
\begin{equation}
\boldsymbol x = C \boldsymbol x + \boldsymbol d
\end{equation}
1. $(I – C)^{-1}$ 的公式
假设年初各个部门制定了生产水平为 $\boldsymbol x = \boldsymbol d$ 的计划，它将恰好满足最终需求。各部门要产出 $\boldsymbol d$，需要投入中间需求 $C \boldsymbol d$，为满足 $C \boldsymbol d$ 的需求，又需要有额外 $C(C \boldsymbol d) = C^2 \boldsymbol d$ 的投入。以此类推，满足所有这些需求的生产水平是
\begin{equation}
\boldsymbol x = \boldsymbol d + C \boldsymbol d + C^2 \boldsymbol d + \cdots = (I + C + C^2 + \cdots)\boldsymbol d \tag{2}
\end{equation}
由
\begin{equation}
(I – C)(I + C + C^2 + \cdots + C^m) = I – C^{m + 1}
\end{equation}
可以证明，若 $C$ 的列的和都严格小于 $1$，则 $I – C$ 是可逆的，当 $m \rightarrow \infty$ 时，$C^m \rightarrow 0$，而 $I – C^{m + 1} \rightarrow I$，此时有
\begin{equation}
(I – C)^{-1} \approx I + C + C^2 +\cdots + C^m \tag{3}
\end{equation}
即当 $m$ 充分大时，上式右边可以任意接近于 $(I – C)^{-1}$。
在实际的投入产出模型中，消耗矩阵的幂迅速趋于 $0$，故 $(3)$ 实际上给出了一种计算 $(I – C)^{-1}$ 的方法。类似地，对于任意 $\boldsymbol d$，$C^m \boldsymbol d$ 迅速趋于零向量，而 $(2)$ 给出实际解 $(I – C)\boldsymbol x = \boldsymbol d$ 的方法。若 $C$ 和 $\boldsymbol d$ 中的元素时非负的，则 $(2)$ 说明 $\boldsymbol x$ 中的元素也是非负的。
2. $(I – C)^{-1}$ 中元素的经济重要性
$(I – C)^{-1}$ 中的元素可以用来预计当最终需求 $\boldsymbol d$ 改变时，产出向量 $\boldsymbol x$ 如何改变。实际上，$(I – C)^{-1}$ 第 $j$ 列的元素表示当第 $j$ 个部门的最终需求增加 $1$ 单位时，各部门需要增加产出的数量。