线性代数 Cheat Sheet 2-2:矩阵的逆
对于一个 n×n 的矩阵 A,若存在一个 n×n 的矩阵 C,使
CA=I且AC=I
其中 I=In 是 n×n 单位矩阵,则称 C 是 A 的逆。
若 A 可逆,则它的逆是唯一的,记为 A−1,于是
A−1A=I且AA−1=I
假设 B 是 A 的另外一个逆,那么将有 B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C。
不可逆矩阵称为奇异矩阵,可逆矩阵称为非奇异矩阵。
定理 4 设 A=[abcd],若 ad – bc \neq 0,则 A 可逆且
\begin{equation} A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix} \end{equation}
若 ad – bc = 0,则 A 不可逆。
数 ad – bc 称为 A 的行列式,记为
\begin{equation} \det A = ad – bc \end{equation}
定理 4 说明,2 \times 2 的矩阵 A 可逆,当且仅当 \det A \neq 0。
定理 5 若 A 是可逆 n \times n 矩阵,则对\mathbb{R}^n 中的每一个 \boldsymbol b,方程 A \boldsymbol x = \boldsymbol b 有唯一解 \boldsymbol x = A^{-1} \boldsymbol b。
定理 6
a. 若 A 是可逆矩阵,则 A^{-1} 也可逆而且 (A^{-1})^{-1} = A。
b. 若 A 和 B 都是 n \times n 可逆矩阵,则 AB 也可逆,且其逆是 A 和 B 的逆矩阵按相反顺序的乘积,即 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}。
c. 若 A 可逆,则 A^\mathsf{T} 也可逆,且其逆是 A^{-1} 的转置,即 (A^\mathsf{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathsf{T}。
对于定理 6b,由矩阵乘法的结合律,有 (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I,类似地,可以证明 (B^{-1}A^{-1})(AB = I)。故B^{-1}A^{-1} 是 AB 的逆。
对于定理 6c,由定理 3d,有 (A^{-1})^\mathsf{T} A^\mathsf{T} = (AA^{-1})^\mathsf{T} = I^\mathsf{T} = I,及 A^\mathsf{T} (A^{-1})^\mathsf{T} = I^\mathsf{T} = I,故 A^\mathsf{T} 可逆,且其逆是 (A^{-1})^\mathsf{T}。
定理 6b 可推广为:若干个 n \times n 可逆矩阵的积也是可逆的,其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积。
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1. 初等矩阵
把单位矩阵进行一次初等行变换,就得到初等矩阵。
若对 m \times n 矩阵 A 进行某种初等行变换,所得矩阵可写成 EA,其中 E 是 m \times m 矩阵,是由 I_m 进行同一行变换所得。
每个初等矩阵 E 是可逆的,E 的逆是一个同类型的初等矩阵,它把 E 变回 I。
因为行变换是可逆的,故初等矩阵也是可逆的。若 E 是由 I 进行行变换所得,则一定有同一类型的另一行变换把 E 变回 I,即有初等矩阵 F 使得 FE = I,因为 E 和 F 对应于互逆的变换,所以也有 EF = I。
定理 7 n \times n 矩阵 A 是可逆的,当且仅当 A 行等价于 I_n,这时,把 A 化简为 I_n 的一系列初等行变换同时把 I_n 变成 A^{-1}。
2. 求 A^{-1} 的算法
把增广矩阵 \begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix} 进行行化简,若 A 行等价于 I,则 \begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix} 行等价于 \begin{bmatrix} I & A^{-1} \end{bmatrix},否则 A 没有逆。
3. 逆矩阵的另一个观点
用 \boldsymbol e_1, \cdots, \boldsymbol e_n 表示 I_n 的各列,则把 \begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix} 行化简为 \begin{bmatrix} I & A \end{bmatrix} 的过程可看作解 n 个方程组
\begin{equation} A \boldsymbol x = \boldsymbol e_1, \; A \boldsymbol x = \boldsymbol e_2, \cdots, A \boldsymbol x = \boldsymbol e_n \tag{1} \end{equation}
将这些方程组的“增广列”依次放在 A 的右边,构成矩阵
\begin{equation} \begin{bmatrix} A & \boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \cdots & \boldsymbol e_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & I\end{bmatrix} \end{equation}
由 AA^{-1} = I 和矩阵乘法的定义,可知 A^{-1} 的各列正式方程组 (1) 的解。如果只需求 A^{-1} 的少数几列,则解方程组 (1) 更快。