线性代数 Cheat Sheet 1-9：线性变换的矩阵
从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的每一个线性变换 $T$ 实际上都是一个矩阵变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$，变换 $T$ 的重要性质都归结为 $A$ 的性质。
定理 10 设 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$ 为线性变换，则存在唯一的矩阵 $A$，使得对 $\mathbb{R}^n$ 中的一切 $\boldsymbol x$，
\begin{equation}
T(\boldsymbol x) = A\boldsymbol x
\end{equation}
事实上，$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的第 $j$ 列是向量 $T(\boldsymbol e_j)$，其中 $\boldsymbol e_j$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中单位矩阵 $I_n$ 的第 $j$ 列：
\begin{equation}
A = \begin{bmatrix} T(\boldsymbol e_1) & \cdots & T(\boldsymbol e_n) \end{bmatrix} \tag{1}
\end{equation}
定理 10 可以通过线性变换的性质证明。记 $\boldsymbol x = I_n \boldsymbol x = \begin{bmatrix} \boldsymbol e_1 & \cdots & \boldsymbol e_n\end{bmatrix} \boldsymbol x = x_1 \boldsymbol e_1 + \cdots + x_n \boldsymbol e_n$，由于 $T$ 是线性变换，有
\begin{align}
T(\boldsymbol x) &= T(x_1 \boldsymbol e_1 + \cdots + x_n \boldsymbol e_n) = x_1 T(\boldsymbol e_1) + \cdots + x_n T(\boldsymbol e_n) \\
&= \begin{bmatrix}T(\boldsymbol e_1) & \cdots & T(\boldsymbol e_n) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} = A \boldsymbol x
\end{align}
式 $(1)$ 中的矩阵 $A$ 称为线性变换 $T$ 的标准矩阵。
1. 存在与唯一性问题
定义 对于映射 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$，若 $\mathbb{R}^m$ 中每个 $\boldsymbol b$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中至少一个 $x$ 的像，则映射 $T$ 称为到 $\mathbb{R}^m$ 上的映射（也称为满射）。
等价地，当 $T$ 的值域是整个余定义域 $\mathbb{R}^m$ 时，$T$ 是到 $\mathbb{R}^m$ 上的。也就是说，若对 $\mathbb{R}^m$ 中每个 $\boldsymbol b$，方程 $T(\boldsymbol x) = \boldsymbol b$ 至少有一个解。
定义 对于映射 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$，若 $\mathbb{R}^m$ 中每个 $\boldsymbol b$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中至多一个 $x$ 的像，则映射 $T$ 称为一对一映射（也称为单射）。
等价地，若对 $\mathbb{R}^m$ 中每个 $\boldsymbol b$，方程 $T(\boldsymbol x) = \boldsymbol b$ 有唯一的解或无解，则 $T$ 是一对一的。
定理 11 设 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$ 为线性变换，则 $T$ 是一对一的当且仅当方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。
定理 12 设 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$ 为线性变换，设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则
a. $T$ 把 $\mathbb{R}^n$ 映上到 $\mathbb{R}^m$，当且仅当 $A$ 的列生成 $\mathbb{R}^m$。（$A$ 的每行都有主元）
b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关。（$A$ 的每列都有主元）