线性代数 Cheat Sheet 1-9:线性变换的矩阵
从 Rn 到 Rm 的每一个线性变换 T 实际上都是一个矩阵变换 x↦Ax,变换 T 的重要性质都归结为 A 的性质。
定理 10 设 T:Rn↦Rm 为线性变换,则存在唯一的矩阵 A,使得对 Rn 中的一切 x,
T(x)=Ax
事实上,A 是 m×n 矩阵,它的第 j 列是向量 T(ej),其中 ej 是 Rn 中单位矩阵 In 的第 j 列:
A=[T(e1)⋯T(en)]
定理 10 可以通过线性变换的性质证明。记 x=Inx=[e1⋯en]x=x1e1+⋯+xnen,由于 T 是线性变换,有
T(x)=T(x1e1+⋯+xnen)=x1T(e1)+⋯+xnT(en)=[T(e1)⋯T(en)][x1⋮xn]=Ax
式 (1) 中的矩阵 A 称为线性变换 T 的标准矩阵。
1. 存在与唯一性问题
定义 对于映射 T:Rn↦Rm,若 Rm 中每个 b 是 Rn 中至少一个 x 的像,则映射 T 称为到 Rm 上的映射(也称为满射)。
等价地,当 T 的值域是整个余定义域 Rm 时,T 是到 Rm 上的。也就是说,若对 Rm 中每个 b,方程 T(x)=b 至少有一个解。
定义 对于映射 T:Rn↦Rm,若 Rm 中每个 b 是 Rn 中至多一个 x 的像,则映射 T 称为一对一映射(也称为单射)。
等价地,若对 Rm 中每个 b,方程 T(x)=b 有唯一的解或无解,则 T 是一对一的。
定理 11 设 T:Rn↦Rm 为线性变换,则 T 是一对一的当且仅当方程 Ax=0 仅有平凡解。
定理 12 设 T:Rn↦Rm 为线性变换,设 A 为 T 的标准矩阵,则
a. T 把 Rn 映上到 Rm,当且仅当 A 的列生成 Rm。(A 的每行都有主元)
b. T 是一对一的,当且仅当 A 的列线性无关。(A 的每列都有主元)