线性代数 Cheat Sheet 2-6:列昂惕夫投入产出模型
设某国经济体系分为 $n$ 个部门,这些部门生产商品和服务。设 $\boldsymbol x$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中产出向量,它列出了每一部门一年中的产出。同时,设经济体系的另一部分(称为开放部门)不生产商品或服务,仅仅消费商品或服务,设 $\boldsymbol d$ 为最终需求向量(或最终需求账单),它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求、…
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设某国经济体系分为 $n$ 个部门,这些部门生产商品和服务。设 $\boldsymbol x$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中产出向量,它列出了每一部门一年中的产出。同时,设经济体系的另一部分(称为开放部门)不生产商品或服务,仅仅消费商品或服务,设 $\boldsymbol d$ 为最终需求向量(或最终需求账单),它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求、…
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矩阵 $A$ 的因式分解是把 $A$ 表示为两个或更多个矩阵的乘积。矩阵乘法是数据的综合,矩阵因式分解是数据的分解,分解后的结构可能更有用,或更便于计算。 1. LU 分解 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,它可以行化简为阶梯形而不必进行行对换,则 $A$ 可写成形式 $A = LU$,$L$ 是 $m \times m$ 下三角矩阵,主对角线元素全是 $1$,$U$ 是 $…
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矩阵可以看作是一个数的矩形表,或者一组列向量。也可以将矩阵用水平和垂直的直线划分为几块,例如对于矩阵 $A$ \begin{equation} A = \begin{bmatrix} 3 & 0 &-1 & 5 & 9 & -2 \\ -5 & 2 & 4 & 0 & -3 & 1 \	…
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定理 8(可逆矩阵定理)设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵,则下列命题是等价的,即对某一特定的 $A$,它们同时为真或同时为假。 a. $A$ 是可逆矩阵。 b. $A$ 行等价于 $n \times n$ 单位矩阵。 c. $A$ 有 $n$ 个主元位置。 d. 方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。 e. $A$ 的各列线性无关。…
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对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$,若存在一个 $n \times n$ 的矩阵 $C$,使 \begin{equation} CA = I \; 且 \; AC = I \end{equation} 其中 $I = I_n$ 是 $n \times n$ 单位矩阵,则称 $C$ 是 $A$ 的逆。 若 $A$ 可逆,则它的逆是唯一的,记为 $A^{-1}$,于是 \beg…
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若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素用 $a_{ij}$ 表示,称为 $A$ 的 $(i, j)$ 元素。$A$ 的各列是 $\mathbb{R}^m$ 中的向量,用黑体字母 $\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n$ 表示,写作 $A = \begin{bmatrix} \boldsymbo…
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从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的每一个线性变换 $T$ 实际上都是一个矩阵变换 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$,变换 $T$ 的重要性质都归结为 $A$ 的性质。 定理 10 设 $T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m$ 为线性变换,则存在唯一的矩阵 $A$,使得对 $…
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对于矩阵方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$,可以将矩阵 $A$ 看成一种对象,它通过乘法“作用”于向量 $\boldsymbol x$,产生新向量 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$。解方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$(假设$A$ 是 $m \times n$ 的矩阵),就是求出 $\…
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定义 对于 $\mathbb{R}^n$ 中一组向量 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$,若向量方程 \begin{equation} x_1 \boldsymbol v_1 + x_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + x_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag…
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1. 齐次线性方程组 若线性方程可以写成 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的形式,则称该线性方程组是齐次的。其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,$\boldsymbol 0$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的零向量。这样的方程组至少有一个解,即 $\boldsymbol x = \boldsymbol 0$($\mathbb{R}^n$ …
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