线性代数 Cheat Sheet 1-4：矩阵方程 Ax = b
定义 若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的各列为 $\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n$。若 $\boldsymbol x$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则 $A$ 与 $\boldsymbol x$ 的积（记为 $A \boldsymbol x$），就是 $A$ 的各列以 $\boldsymbol x$ 中对应元素…
Read more
线性代数 Cheat Sheet 1-3：向量方程
1. $\mathbb{R}^2$ 中的向量 仅含一列的矩阵称为列向量，简称向量，如： \begin{equation} \boldsymbol u = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}, \; \boldsymbol v = \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.3 \end{bmatrix}, \; \b…
Read more
线性代数 Cheat Sheet 1-2：行化简与阶梯形矩阵
矩阵中至少包含一个非零元素的行称为非零行，非零行中最左边的非零元素称为先导元素。 定义 若矩阵具有以下三个性质： 1. 每一非零行都在每一零行之上。 2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边。 3. 某一先导元素所在列的下方元素都是零。 则称该矩阵为阶梯形（或行阶梯形）矩阵。 若一个阶梯形矩阵还满足以下性质： 4. 每一非零行的先导元素都是 1。 5. 每一先导元素 1 …
Read more
线性代数 Cheat Sheet 1-1：线性方程组
本系列为《线性代数及其应用（原书第 5 版）》（Linear Algebra and Its Application）中关键概念的整理，方便查用。 线性方程是形如 \begin{equation} a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b \tag{1} \end{equation} 的方程，其中 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是变…
Read more
Think Bayes Note 12: 彩弹
1. 问题描述 在彩弹射击游戏中，参加游戏的双方使用装有彩弹的玩具枪相互射击，彩弹在命中目标后，会在目标上染色。假设游戏场景是一个 30 英尺长、50 英尺宽的房间，你发现 30 英尺长一面的墙上，在距离墙角 15 英尺、16 英尺、18 英尺和 21 英尺的位置上各有一个彩弹的痕迹，据此推测对手的位置。 2. 场景分析 问题场景如下图所示。 假设墙角为原点，射击方的位置为 $(\alph…
Read more
Think Bayes Note 11: 红线问题
1. 问题描述 “红线”是马塞诸塞州了解剑桥和波士顿的地铁线路，在上下班高峰期，红线列车每 7 ~ 8 分钟运行一趟。从 Kendall 广场乘坐红线列车，在到达车站时，可以根据站台上的乘客人数估计下一班车到达的时间：如果站台上只有几个人，说明可能刚过去了一趟列车，下一班要等 7 分钟左右；如果站台上有较多的乘客等待，则估计下一班车班上就回到来；如果站台上的人很多，则列车可能没有正常运行，最好…
Read more
Think Bayes Note 10: 波士顿棕熊队问题
1. 问题描述 在 2010 ~ 2011 赛季的国家冰球联盟（National Hockey League，NHL）总决赛中，波士顿棕熊队与温哥华加拿大人队对决，棕熊队以 0:1 和 2:3 输掉了前两场比赛，以 8:1 和 4:0 赢了后两场比赛，那么此时棕熊队赢得下一场比赛的概率是多少，赢得总冠军的概率是多少？ 2. 一些假设 要解答这个问题，首先需要进行一些假设： 假设比赛中进球得…
Read more
Think Bayes Note 9: 价格竞猜
1. 价格竞猜 在一个名为“正确的价格”的价格竞猜的电视节目中，会为参赛的两名选手各准备一组商品，两名选手要尝试猜测自己商品的价格。如果选手出价高于实际价格，则会直接输掉；如果选手出价低于实际价格，则出价误差较小的选手获胜；如果误差低于 250 美元，则该选手还会赢得对手的奖品。 举例来说，纳撒尼尔和莱希娅两人参加了节目，纳撒尼尔要竞猜的商品包括洗碗机、酒柜、笔记本电脑和一辆汽车，他的出价…
Read more
Think Bayes Note 8: 骰子点数之和
1. 点数之和 在《龙与地下城》角色扮演游戏中，玩家通过投掷 3 个 6 面骰子来决定自己角色的属性。求投掷 3 个 6 面骰子点数之和的分布。 这个问题可以从通过模拟或枚举的方法来计算。 1.1. 模拟 可以通过多次模拟投掷 3 个骰子的过程，并汇总结果，得到结果的分布。定义代表单个骰子的 Die 类如下： class Die(Pmf): def __init__(self, sid…
Read more
Think Bayes Note 7: 奥利弗的血迹
1. 问题描述 在一个犯罪现场中，发现了两个人的血迹，其中一个是 O 型血（当地人口中有 60% 是 O 血型），另一个是 AB 型（当地人口中有 1% 是 AB 型）。现有一名嫌疑犯奥利弗是 O 型血，那么这些证据是否支持奥利弗是嫌疑犯（在现场留下血迹的人）？ 2. 求解 假设 $H_A$ 为奥利弗是嫌疑犯，$H_B$ 为奥利弗不是嫌疑犯。记 $D$ 为现场发现了 O 型血和 AB 型血…
Read more