数理统计 Cheat Sheet 11：单侧置信区间

Author: nex3z 2019-04-14

1. 单侧置信区间

　　对于给定值 $\alpha$（$0 < \alpha < 1$），若由样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 确定的统计量 $\underline\theta = \underline\theta(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 对于任意 $\theta \in \Theta$，满足

$$\begin{equation} P\{\theta > \underline\theta\} \geq 1 – \alpha \tag{1} \end{equation}$$

则称随机区间 $(\underline\theta, \infty)$ 是 $\theta$ 的置信水平为 $1 – \alpha$ 的单侧置信区间，$\underline\theta$ 称为 $\theta$ 的置信水平为 $1 – \alpha$ 的单侧置信下限。

　　又若统计量 $\overline\theta = \overline\theta(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 对于任意 $\theta \in \Theta$，满足

$$\begin{equation} P\{\theta < \overline\theta\} \geq 1 – \alpha \tag{2} \end{equation}$$

则称随机区间 $(-\infty, \overline\theta)$ 是 $\theta$ 的置信水平为 $1 – \alpha$ 的单侧置信区间，$\underline\theta$ 称为 $\theta$ 的置信水平为 $1 – \alpha$ 的单侧置信上限。

2. 正态总体参数的单侧置信区间

　　对于正态总体 $X$，若均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 均为未知，设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是一个样本。

2.1. 均值的单侧置信区间

　　由

$$\begin{equation} \frac{\overline X – \mu}{S \sqrt{n}} \sim t(n – 1) \end{equation}$$

得

$$\begin{equation} P\bigg\{ \frac{\overline X – \mu}{S \sqrt{n}} < t_{\alpha}(n – 1) \bigg\} = 1 – \alpha \end{equation}$$

即

$$\begin{equation} P\bigg\{ \mu > \overline X – \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n – 1) \bigg\} = 1 – \alpha \end{equation}$$

于是得到 $\mu$ 的置信水平为 $1 – \alpha$ 的单侧置信区间

$$\begin{equation} \bigg( \overline X – \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n – 1), \infty \bigg) \tag{3} \end{equation}$$

$\mu$ 的置信水平为 $1 – \alpha$ 的单侧置信下限为

$$\begin{equation} \underline\mu = \overline X – \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n – 1) \tag{4} \end{equation}$$

2.2. 方差的单侧置信区间

　　由

$$\begin{equation} \frac{(n – 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n – 1) \end{equation}$$

得

$$\begin{equation} P\bigg\{ \frac{(n – 1)S^2}{\sigma^2} > \chi_{1 – \alpha}^2(n – 1) \bigg\} = 1 – \alpha \end{equation}$$

即

$$\begin{equation} P\bigg\{ \sigma^2 < \frac{(n – 1)S^2}{\chi_{1 – \alpha}^2(n – 1)} \bigg\} = 1 – \alpha \end{equation}$$

于是得到 $\sigma^2$ 的置信水平为 $1 – \alpha$ 的单侧置信区间

$$\begin{equation} \bigg( 0, \frac{(n – 1)S^2}{\chi_{1 – \alpha}^2(n – 1)} \bigg) \tag{5} \end{equation}$$

$\sigma^2$ 的置信水平为 $1 – \alpha$ 的单侧置信上限为

$$\begin{equation} \overline\sigma^2 = \frac{(n – 1)S^2}{\chi_{1 – \alpha}^2(n – 1)} \tag{6} \end{equation}$$