Tag Archive: Linear Algebra

　　对任意 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和任意 $\mathbb{R}^n$ 中的向量 $\boldsymbol b$，令 $A_i(\boldsymbol b)$ 表示 $A$ 中第 $i$ 列由向量 $\boldsymbol b$ 替换得到的矩阵： \begin{equation} A_i(\boldsymbol b) = \begin{bmatrix} \boldsymbol a…
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　　定理 3（行变换）令 $A$ 是一个方阵。 a. 若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得到矩阵 $B$，则 $\det B = det A$。 b. 若 $A$ 的两行互换得到矩阵 $B$，则 $\det B = -\det A$。 c. 若 $A$ 的某行乘以 $k$ 得到矩阵 $B$，则 $\det B = k \cdot \det A$。 　　若一个方阵 $A$ 通过行倍加和行交换化简为…
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　　定义　当 $n \geq 2$ 时，$n \times n$ 矩阵 $A = [a_{ij}]$ 的行列式是形如 $\pm a_{1j} \det A_{1j}$ 的 $n$ 个项的和，其中加号和减号交替出现，元素 $a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n}$ 来自 $A$ 的第一行，用符号表示为： \begin{align} \det A &= a_{11} \c…
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1. 坐标系 　　定义　假设 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\}$ 是子空间 $H$ 的一组基。对 $H$ 中的每一个向量 $\boldsymbol x$，相对于基 $\mathcal{B}$ 的坐标是使 $\boldsymbol x = c_1 \boldsymbol b_1 + \cdots +…
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　　定义　$\mathbb{R}^n$ 中的一个子空间是 $\mathbb{R}^n$ 中的集合 $H$，具有以下三个性质： a. 零向量属于 $H$。 b. 对 $H$ 中任意的向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$，向量 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 属于 $H$。 c. 对 $H$ 中任意的向量 $\boldsymbol u…
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　　计算机图形学中的图形变换是与矩阵乘法紧密联系的。但是，屏幕上的物品的平移并非线性变换，因此并不直接对应于矩阵乘法。避免这一困难的标准办法是引入齐次坐标。 1. 齐次坐标 　　$\mathbb{R}^2$ 中的每个点 $(x, y)$ 可以对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的点 $(x, y, 1)$，它们位于 $xy$ 平面上方 $1$ 单位的平面上。我们称 $(x, y)$ 有其次坐标…
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　　设某国经济体系分为 $n$ 个部门，这些部门生产商品和服务。设 $\boldsymbol x$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中产出向量，它列出了每一部门一年中的产出。同时，设经济体系的另一部分（称为开放部门）不生产商品或服务，仅仅消费商品或服务，设 $\boldsymbol d$ 为最终需求向量（或最终需求账单），它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求、…
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　　矩阵 $A$ 的因式分解是把 $A$ 表示为两个或更多个矩阵的乘积。矩阵乘法是数据的综合，矩阵因式分解是数据的分解，分解后的结构可能更有用，或更便于计算。 1. LU 分解 　　设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，它可以行化简为阶梯形而不必进行行对换，则 $A$ 可写成形式 $A = LU$，$L$ 是 $m \times m$ 下三角矩阵，主对角线元素全是 $1$，$U$ 是 $…
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　　矩阵可以看作是一个数的矩形表，或者一组列向量。也可以将矩阵用水平和垂直的直线划分为几块，例如对于矩阵 $A$ \begin{equation} A = \begin{bmatrix} 3 & 0 &-1 & 5 & 9 & -2 \\ -5 & 2 & 4 & 0 & -3 & 1 \&#9…
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　　定理 8（可逆矩阵定理）设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 $A$，它们同时为真或同时为假。 a. $A$ 是可逆矩阵。 b. $A$ 行等价于 $n \times n$ 单位矩阵。 c. $A$ 有 $n$ 个主元位置。 d. 方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 仅有平凡解。 e. $A$ 的各列线性无关。…
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