[DL Note] 线性代数:行列式

  行列式(determinant)将一个方阵映射到实数,方阵 $\boldsymbol A$ 的行列式记做 $\det A$,其值为 $\boldsymbol A$ 特征值的乘积。行列式的绝对值可以用来衡量一个矩阵经过矩阵乘法变换后扩大或缩小的情况。如果行列式为 $0$,则空间至少沿着某一维度完全收缩了,使其失去了所有的体积;如果行列式为 $1$,则变换保持空间体积不变。

  可以使使用余因子展开的方式计算行列式。当 $n \geq 2$ 时,$n \times n$ 矩阵 $A = [a_{ij}]$ 的行列式是形如 $\pm a_{1j} \det A_{1j}$ 的 $n$ 个项的和,其中加号和减号交替出现,元素 $a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n}$ 来自 $A$ 的第一行,用符号表示为:

\begin{align}
\det \boldsymbol A &= a_{1,1} \cdot \det \boldsymbol A_{1,1} – a_{1,2} \cdot \det \boldsymbol A_{1,2} + \cdots + (-1)^{1 + n} a_{1,n} \cdot \det \boldsymbol A_{1,n} \\
& = \sum_{j = 1}^n (-1)^{1 + j} a_{1j} \det \boldsymbol A_{1,j}
\end{align}

其中,$\boldsymbol A_{i,j}$ 表示通过删去 $\boldsymbol A$ 中第 $i$ 行和第 $j$ 列而得到的矩阵。

  给定 $\boldsymbol A = [a_{i,j}]$,$\boldsymbol A$ 的 $(i, j)$ 余因子 $C_{i,j}$ 由下式给出:

\begin{equation}
C_{i,j} = (-1)^{i + j} \det \boldsymbol A_{i,j}
\end{equation}

\begin{equation}
\det \boldsymbol A = a_{1,1} \cdot C_{1,1} + a_{1,2} \cdot C_{1,2} + \cdots + a_{1,n} \cdot C_{1,n}
\end{equation}

这个公式称为按 $A$ 的第一行的余因子展开式

  $n \times n$ 矩阵 $\boldsymbol A$ 的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。按第 $i$ 行的余因子展开式为:

\begin{equation}
\det \boldsymbol A = a_{i,1}C_{i,1} + a_{i,2}C_{i,2} + \cdots + a_{i,n}C_{i,n}
\end{equation}

按第 $j$ 列的余因子展开式为:

\begin{equation}
\det \boldsymbol A = a_{1,j}C_{1,j} + a_{2,j}C_{2,j} + \cdots + a_{n,j}C_{n,j}
\end{equation}

  $(i, j)$ 余因子中加号或减号取决于 $a_{i,j}$ 在矩阵中的位置,而与 $a_{i,j}$ 本身的符号无关。因子 $(-1)^{i + j}$ 可确定下面符号的棋盘模式:

\begin{equation}
\begin{bmatrix}
+ & – & + & \cdots \\
– & + & – \\
+ & – & + \\
\vdots & & & \ddots
\end{bmatrix}
\end{equation}

  若 $\boldsymbol A$ 为三角阵,则 $\det \boldsymbol A$ 等于 $\boldsymbol A$ 的主对角线上元素的乘积。因为在计算三角阵的行列式时,依次以主元位置所在的列进行余因子展开,结果即为主对角线上元素的乘积。

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