Monthly Archive: 1月 2019

1. 离散情形下的条件分布 　　对于两个事件 $E$ 和 $F$，给定 $F$ 发生的条件下 $E$ 的条件概率为（假设 $P(F) > 0$） \begin{equation} P(E|F) = \frac{P(EF)}{P(F)} \end{equation} 如果 $X$ 和 $Y$ 都是离散型随机变量，那么在已知 $Y = y$ 的条件下，定义 $X$ 的分布列如下：对于所有满足 $p_Y…
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1. 独立随机变量 　　对于随机变量 $X$ 和 $Y$，如果对任意两个实数集 $A$ 和 $B$，有 \begin{equation} P\{X \in A, Y \in B\} = P\{X \in A\} P\{Y \in B\} \tag{1} \end{equation} 则称 $X$ 和 $Y$ 是独立的（Indenpendent）。也就…
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1. 联合概率分布函数 　　为了处理两个随机变量的概率问题，定义两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布函数（Joint Cumulative Probability Distribution Function）如下 \begin{equation} F(a, b) = P\{X \leq a, Y \leq b\} \qquad -\infty < a, b &lt…
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　　如果我们已知某随机变量 $X$ 的分布，想要知道该随机变量的函数 $g(X)$ 的分布，需要将事件 $g(X) \leq y$ 表示为关于 $X$ 的集合。 　　定理　设 $X$ 为一连续型随机变量，密度函数为 $f_X$，设 $g(x)$ 为一严格单调（递增或递减）且可微（因此必连续）的函数，那么随机变量 $Y = g(X)$ 的密度函数为 \begin{equation} f_Y(y) =…
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1. $\Gamma$ 分布 　　如果一个随机变量具有密度函数 \begin{equation} f(x) = \begin{cases}\frac{\lambda e^{-\lambda x} (\lambda x)^{\alpha – 1}}{\Gamma(\alpha)} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0\end{cases} …
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1. 定义 　　如果一个连续型随机变量的密度函数对于参数 $\lambda > 0$ 有 \begin{equation} f(x) =\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & 当 \; x \geq 0 \\ 0 & 当 \; x < 0\end{cases} \tag{1} \end{equation} 则称该随机变量是…
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1. 定义 　　如果随机变量 $X$ 的密度函数为 \begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma } \mathrm{e}^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}} \qquad -\infty < x < \infty \tag{1} \end{equation} 则称 $X$ 是服从参数为 …
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1. 定义 　　如果一个随机变量 $X$ 的密度函数为 \begin{equation} f(x) = \begin{cases}1 & 0 < x <1 \\ 0 & 其他\end{cases} \tag{1} \end{equation} 则称随机变量 $X$ 在 $(0, 1)$ 区间上服从均匀分布（Uniform Distribution）。 　…
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1. 定义 　　设 $X$ 是一个随机变量，如果存在一个定义在实数轴上的非负函数 $f$，使得对于任一个实数集 $B$，满足 \begin{equation} P\{X \in B\} = \int_B f(x) \mathrm{d}x \tag{1} \end{equation} 则称 $X$ 为连续型（Continuous）随机变量。函数 $f$ 称为随机变量 $X$ 的概率密…
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1. 随机变量和的期望 　　期望的一个重要性质是一组随机变量的和的期望等于这组随机变量各自期望的和。 　　给定一个随机变量 $X$，则当 $s \in S$（即 $s$ 表示一次试验结果）时，$X(s)$ 表示此事随机变量 $X$ 的取值。现在，如果给定随机变量 $X$ 和 $Y$，那么它们的和任然是随机变量，即 $Z = X + Y$ 是随机变量。并且，$Z(s) = X(s) + Y(s)$ …
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