概率论 Cheat Sheet 25:矩母函数

1. 矩母函数

  随机变量 X 的矩母函数 M(t) 定义为

M(t)=E[etX]={xetxp(x)Xp(x)etxf(x)dxXf(x)

其中 t 为任意实数。之所以称 M(t) 为矩母函数,是因为 X 的所有各阶矩都可以从 M(t)t=0 的各阶微商得到,例如

M(t)=ddtE[etX]=E[ddtetX]=E[XetX]

上式假定微商和期望两个运算可以互换次序,即在离散情形下,假定有

ddt[xetxp(x)]=xddt[etxp(x)]

在连续情形下,假定有

ddt[etxf(x)dx]=ddt[etxf(x)]dx

这个假定在通常情况下能够验证。在式 (2) 中,令 t=0,可得

M(0)=E[X]

类似地

M(t)=ddtM(t)=ddtE[XetX]=E[ddtXetX]=E[X2etX]

可得

M(0)=E[X2]

  一般地,对 M(t)n 次导数可得

M(n)(t)=E[XnetX]n1

从而有

M(n)(0)=E[Xn]n1

  二项分布的矩母函数 设 X 是参数为 (n,p) 的二项分布随机变量,则

M(t)=E[etX]=nk=0etk(nk)pk(1p)nk=nk=0(nk)(pet)k(1p)nk=(pet+1p)n

等号两边求微商得

M(t)=n(pet+1p)n1pet

E[X]=M(0)=np

在进行一次微商得

M(t)=n(n1)(pet+1p)n2(pet)2+n(pet+1p)n1pet

E[X2]=M(0)=n(n1)p2+np

于是可得

Var(X)=E[X2](E[X])2=n(n1)p2+np(np)2=np(1p)

  矩母函数的一个重要性质是,矩母函数唯一地确定了分布。设 MX(t)X 的矩母函数,并在 t=0 的某一邻域内有定义且有限,则 X 的分布被 MX(t) 唯一确定。例如,若

MX(t)=(12)10(et+1)10

X 是参数为 (10,2) 的二项随机变量。

  矩母函数的另一个重要性质是,独立随机变量和的矩母函数等于各随机变量各自矩母函数的乘积。设 XY 为相互独立的随机变量,其矩母函数分别为 MX(t)MY(t),记 MX+Y(t)X+Y 的矩母函数,则

MX+Y(t)=E[et(X+Y)]=E[etXetY]=E[etX]E[etY]=MX(t)MY(t)

2. 联合矩母函数

  将矩母函数推广到两个或多个随机变量的联合矩母函数,设 X1,,Xn 为随机变量序列,其联合矩母函数 M(t1,,tn) 对实数 t1,,tn 定义

M(t1,,tn)=E[et1X1++tnXn]

Xi 的矩母函数可以从联合矩母函数 M(t1,,tn) 中得到,即

MXi(t)=E[etXi]=M(0,,0,t,0,,0)

上式右边 t 的位置刚好在第 i 个变量的地方。

  可以证明,X1,,Xn 的联合矩母函数唯一地确定了它们的联合分布。利用这个结论,可以证明 X1,,Xn 相互独立的充要条件是

M(t1,,tn)=MX1(t1)MXn(tn)