概率论 Cheat Sheet 19:随机变量函数的联合分布
设 X1,X2 是联合连续的随机变量,具有联合密度函数 FX1,X2,Y1,Y2 为 X1,X2 的函数,要计算 Y1,Y2 的联合分布,设 Y1=g1(X1,X2),Y2=g2(X1,X2),函数 g1,g2 满足以下两个条件:
(1)有下列方程组
y1=g1(x1,x2)y2=g2(x1,x2)
可唯一地解出 x1,x2 来,即求出 x1=h1(y1,y2),x2=h2(y1,y2)。
(2)函数 g1,g2 对一切 (x1,x2) 有连续偏导数,并且下面的 2×2 行列式对一切 (x1,x2) 有
\begin{equation} J(x_1, x_2) = \begin{vmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} \end{vmatrix} \equiv \frac{\partial g_1}{\partial x_1}\frac{\partial g_2}{\partial x_2} – \frac{\partial g_1}{\partial x_2}\frac{\partial g_2}{\partial x_1} \neq 0 \end{equation}
在上述两个条件下,可以证明 Y_1, Y_2 的联合密度函数为
\begin{equation} f_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) = f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) \vert J(x_1, x_2) \vert^{-1} \tag{1} \end{equation}
其中 x_1 = h_1(y_1, y_2),x_2 = h_2(y_1, y_2)。
设已知 n 个随机变量 X_1, \cdots, X_n 的联合密度函数,Y_1, \cdots, Y_n 为 X_1, \cdots, X_n 的函数,令
\begin{equation} Y_1 = g_1(X_1, \cdots, X_n), \; Y_2 = g_2(X_1, \cdots, X_n), \; \cdots, \; Y_n = g_n(X_1, \cdots, X_n) \end{equation}
假设 g_i 有连续偏导数,且对一切 (x_1, \cdots, x_n) 有雅可比行列式 J(x_1, \cdots, x_n) \neq 0 成立,即
\begin{equation} J(x_1, \cdots, x_n) = \begin{vmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} & \frac{\partial g_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} \end{vmatrix} \neq 0 \end{equation}
进一步,假设方程组
\begin{equation} y_1 = g_1(x_1, \cdots, x_n) \\ y_2 = g_2(x_1, \cdots, x_n) \\ \vdots \\ y_n = g_n(x_1, \cdots, x_n) \end{equation}
存在唯一解,如
\begin{equation} x_1 = h_1(y_1, \cdots, y_n) \\ \vdots \\ x_n = h_n(y_1, \cdots, y_n) \end{equation}
此时 Y_1, \cdots, Y_n 的联合密度函数为
\begin{equation} f_{Y_1, \cdots, Y_n} = f_{X_1, \cdots, X_n}(x_1, \cdots, x_n) |J(x_1, \cdots, x_n)|^{-1} \tag{2} \end{equation}
其中 x_i = h_i(y_1, \cdots, y_n)(i = 1, 2, \cdots, n)。