概率论 Cheat Sheet 19:随机变量函数的联合分布
设 X1,X2 是联合连续的随机变量,具有联合密度函数 FX1,X2,Y1,Y2 为 X1,X2 的函数,要计算 Y1,Y2 的联合分布,设 Y1=g1(X1,X2),Y2=g2(X1,X2),函数 g1,g2 满足以下两个条件:
(1)有下列方程组
y1=g1(x1,x2)y2=g2(x1,x2)
可唯一地解出 x1,x2 来,即求出 x1=h1(y1,y2),x2=h2(y1,y2)。
(2)函数 g1,g2 对一切 (x1,x2) 有连续偏导数,并且下面的 2×2 行列式对一切 (x1,x2) 有
J(x1,x2)=|∂g1∂x1∂g1∂x2∂g2∂x1∂g2∂x2|≡∂g1∂x1∂g2∂x2–∂g1∂x2∂g2∂x1≠0
在上述两个条件下,可以证明 Y1,Y2 的联合密度函数为
fY1,Y2(y1,y2)=fX1,X2(x1,x2)|J(x1,x2)|−1
其中 x1=h1(y1,y2),x2=h2(y1,y2)。
设已知 n 个随机变量 X1,⋯,Xn 的联合密度函数,Y1,⋯,Yn 为 X1,⋯,Xn 的函数,令
Y1=g1(X1,⋯,Xn),Y2=g2(X1,⋯,Xn),⋯,Yn=gn(X1,⋯,Xn)
假设 gi 有连续偏导数,且对一切 (x1,⋯,xn) 有雅可比行列式 J(x1,⋯,xn)≠0 成立,即
J(x1,⋯,xn)=|∂g1∂x1∂g1∂x2⋯∂g1∂xn∂g2∂x1∂g2∂x2⋯∂g2∂xn⋮⋮⋮⋮∂gn∂x1∂gn∂x2⋯∂gn∂xn|≠0
进一步,假设方程组
y1=g1(x1,⋯,xn)y2=g2(x1,⋯,xn)⋮yn=gn(x1,⋯,xn)
存在唯一解,如
x1=h1(y1,⋯,yn)⋮xn=hn(y1,⋯,yn)
此时 Y1,⋯,Yn 的联合密度函数为
fY1,⋯,Yn=fX1,⋯,Xn(x1,⋯,xn)|J(x1,⋯,xn)|−1
其中 xi=hi(y1,⋯,yn)(i=1,2,⋯,n)。