概率论 Cheat Sheet 19:随机变量函数的联合分布

  设 X1,X2 是联合连续的随机变量,具有联合密度函数 FX1,X2Y1,Y2X1,X2 的函数,要计算 Y1,Y2 的联合分布,设 Y1=g1(X1,X2)Y2=g2(X1,X2),函数 g1,g2 满足以下两个条件:

(1)有下列方程组

y1=g1(x1,x2)y2=g2(x1,x2)

可唯一地解出 x1,x2 来,即求出 x1=h1(y1,y2)x2=h2(y1,y2)

(2)函数 g1,g2 对一切 (x1,x2) 有连续偏导数,并且下面的 2×2 行列式对一切 (x1,x2)

J(x1,x2)=|g1x1g1x2g2x1g2x2|g1x1g2x2g1x2g2x10

在上述两个条件下,可以证明 Y1,Y2 的联合密度函数为

fY1,Y2(y1,y2)=fX1,X2(x1,x2)|J(x1,x2)|1

其中 x1=h1(y1,y2)x2=h2(y1,y2)

  设已知 n 个随机变量 X1,,Xn 的联合密度函数,Y1,,YnX1,,Xn 的函数,令

Y1=g1(X1,,Xn),Y2=g2(X1,,Xn),,Yn=gn(X1,,Xn)

假设 gi 有连续偏导数,且对一切 (x1,,xn) 有雅可比行列式 J(x1,,xn)0 成立,即

J(x1,,xn)=|g1x1g1x2g1xng2x1g2x2g2xngnx1gnx2gnxn|0

进一步,假设方程组

y1=g1(x1,,xn)y2=g2(x1,,xn)yn=gn(x1,,xn)

存在唯一解,如

x1=h1(y1,,yn)xn=hn(y1,,yn)

此时 Y1,,Yn 的联合密度函数为

fY1,,Yn=fX1,,Xn(x1,,xn)|J(x1,,xn)|1

其中 xi=hi(y1,,yn)i=1,2,,n)。