概率论 Cheat Sheet 15：随机变量函数的分布

Author: nex3z 2019-01-16

　　如果我们已知某随机变量 $X$ 的分布，想要知道该随机变量的函数 $g(X)$ 的分布，需要将事件 $g(X) \leq y$ 表示为关于 $X$ 的集合。

　　定理　设 $X$ 为一连续型随机变量，密度函数为 $f_X$，设 $g(x)$ 为一严格单调（递增或递减）且可微（因此必连续）的函数，那么随机变量 $Y = g(X)$ 的密度函数为

$$\begin{equation} f_Y(y) = \begin{cases}f_X[g^{-1}(y)] \big\vert \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} g^{-1}(y) \big\vert & 如果存在某 \; x, \;使得 \; y = g(x) \\ 0 & 如果对一切 \; x, y \neq g(x) \end{cases} \end{equation}$$

其中 $g^{-1}(y)$ 定义为满足 $g(x) = y$ 的 $x$ 值。

　　假设 $g(x)$ 为递增函数，设对某些 $x$，有 $y = g(x)$，令 $Y = g(X)$，有

$$\begin{equation} F_Y(y) = P\{g(X) \leq y\} = P\{X \leq g^{-1}(y)\} = F_X(g^{-1}(y)) \end{equation}$$

求导得

$$\begin{equation} f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}g^{-1}(y) \end{equation}$$

因为 $g^{-1}(y)$ 单调非降，所以导数非负。

　　若对任意 $x$ 都有 $y \neq g(x)$，那么 $F_Y(y)$ 等于 $0$ 或 $1$，无论 $F_Y(y) = 0$ 还是 $F_Y(y) = 1$，均有 $f_Y(y) = 0$。