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概率论 Cheat Sheet 12:正态随机变量

1. 定义

  如果随机变量 X 的密度函数为

f(x)=12πσe(xμ)22σ2<x<

则称 X 是服从参数为 μσ2 的正态分布的随机变量,简称为正态随机变量。该密度函数是一条关于 μ 对称的钟形曲线。

  如果 X 是一个服从参数为 μσ2 的正态分布的随机变量,令 Y=aX+bXY 的分布函数分别为 FXFY,则有

FY(x)=P{Yx}=P{aX+bx}=P{Xxba}=FX(xba)

求导可得 Y 的密度函数

fY(x)=1afX(xba)=12πaσexp{(xbaμ)2/(2σ2)}=12πaσexp{(xbaμ)2/[2(aσ)2]}

上式说明 Y=aX+b 服从参数为 aμ+ba2σ2 的正态分布。

  类似地,如果 X 是一个参数为 (μ,σ2) 的正态随机变量,那么 Z=Xμσ 就是一个参数为 (0,1) 的正态随机变量,称为标准正态随机变量。

  一般将标准正态随机变量的分布函数记为 Φ(x),即

Φ(x)=12πey2/2dy

  由标准正态密度函数的对称性可知,对于一个非负数 xΦ(x) 的值可以通过下式计算得到

Φ(x)=1Φ(x)<x<

上式表明,如果 Z 是一个标准正态随机变量,那么

P{Zx}=P{Z>x}<x<

  当 X 服从参数为 (μ,σ2) 的正态分布时,Z=Xμσ 服从标准正态分布,X 的分布函数可以写成

FX(a)=P{Xa}=P(Xμσaμσ)=Φ(aμσ)

2. 期望和方差

  标准正态随机变量 Z 的期望和方差为

E[Z]=xfz(x)dx=12πxex2/2dx=12πex2/2|=0

Var(Z)=E[Z2]=12πx2ex2/2dx

通过分部积分,令 u=xdv=xex2/2,得

Var(Z)=12π(xex2/2|+ex2/2dx)=12πex2/2dx=1

X=μ+δZ

E[X]=μ+σE[Z]=μ

Var(X)=σ2E[Z]=σ2

3. 二项分布的正态近似

  棣莫弗-拉普拉斯极限定理 在 n 次独立重复试验中,设每次成功的概率为 p,记成功的总次数为 Sn,那么对任意 a<b,当 n

P{aSnnpnp(1p)b}Φ(b)Φ(a)

  棣莫弗-拉普拉斯极限定理表明,当 n 足够大时,参数为 (n,p) 的二项分布随机变量可以由正态随机变量来近似,其中正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同。

  结合前文,二项分布现在有两种可能的近似:当 n 较大而 p 较小时,二项分布很好地近似于泊松分布;当 np(1p) 较大时,二项分布很好地近似于正态分布。一般来说,当 np(1p)10 时,正态分布的近似效果就非常好。