概率论 Cheat Sheet 11：均匀随机变量

Author: nex3z 2019-01-14

1. 定义

　　如果一个随机变量 $X$ 的密度函数为

$$\begin{equation} f(x) = \begin{cases}1 & 0 < x <1 \\ 0 & 其他\end{cases} \tag{1} \end{equation}$$

则称随机变量 $X$ 在 $(0, 1)$ 区间上服从均匀分布（Uniform Distribution）。

　　注意 $f(x) \geq 0$，且 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int_0^1 \mathrm{d}x = 1$，所以上式是一个概率密度函数。因为仅当 $x \in (0, 1)$ 时才有 $f(x) > 0$，所以 $X$ 必然取值在 $(0, 1)$ 之间。又因为 $f(x)$ 对于任意 $x \in (0, 1)$ 为常数，所以 $X$ 在 $(0, 1)$ 内任何值附近取值的概率都相等。 对于任意 $0 < a < b < 1$，有

$$\begin{equation} P\{a \leq X \leq b\} = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = b – a \tag{2} \end{equation}$$

　　一般来说，如果随机变量 $X$ 的密度函数为

$$\begin{equation} f(x) = \begin{cases}\frac{1}{\beta – \alpha} & \alpha < x <\beta \\ 0 & 其他\end{cases} \tag{3} \end{equation}$$

那么称 $X$ 在区间 $(\alpha, \beta)$ 上服从均匀分布。

　　由式 $(3)$ 及 $F(a) = \int_a^{\infty} f(x) \mathrm{d}x$，可得区间 $(\alpha, \beta)$ 上均匀随机变量的分布函数为

$$\begin{equation} F(x) = \begin{cases} 0 & a \leq \alpha \\ \frac{a – \alpha}{\beta – \alpha} & \alpha < x <\beta \\ 1 & a \geq \beta\end{cases} \end{equation}$$

2. 均值和方差

　　设 $X$ 在 $(\alpha, \beta)$ 上服从均匀分布，则

$$\begin{equation} E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{x}{\beta – \alpha} \mathrm{d}x = \frac{\beta^2 – \alpha^2}{2(\beta – \alpha)} = \frac{\alpha + \beta}{2} \tag{4} \end{equation}$$

　　计算 $E[X^2]$ 如下

$$\begin{equation} E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{x^2}{\beta – \alpha} \mathrm{d}x = \frac{\beta^3 – \alpha^3}{3(\beta – \alpha)} = \frac{\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2}{3} \end{equation}$$

　　于是有

$$\begin{equation} Var(X) = \frac{\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2}{3} – \Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big)^2 = \frac{(\beta – \alpha)^2}{12} \tag{5} \end{equation}$$