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概率论 Cheat Sheet 10:连续型随机变量

1. 定义

  设 X 是一个随机变量,如果存在一个定义在实数轴上的非负函数 f,使得对于任一个实数集 B,满足

P{XB}=Bf(x)dx

则称 X连续型(Continuous)随机变量。函数 f 称为随机变量 X概率密度函数(Probability Density Function,PDF),或者称为密度函数。

  式 (1) 表明 X 属于 B 的概率可以由概率密度函数 f(x) 在集合 B 上的积分得到。因为 X 必取某个值,所以 f 一定满足

1=P{X(,)}=f(x)dx

所有关于 X 的概率都可以由 f 得到。令 B=[a,b],则

P{aXb}=baf(x)dx

(2) 中,若令 a=b,则有

P{X=a}=aaf(x)dx=0

上式说明,连续型随机变量取任何固定值的概率都等于 0。因此,对于一个连续型随机变量 X,有

P{X<a}=P{Xa}=F(a)=af(x)dx

  由式 (2) 可以得到一个关于概率密度函数的更直观的解释:

P{aε2Xa+ε2}=a+ε2aε2f(x)dxεf(a)

其中 ε 是一个非常小的数,f()x=a 处连续。也就是说,X 取值于以点 a 为中心,长度为 ε 的区间内的概率近似等于 εf(a)。由此可以看出,密度函数 f(a) 是随机变量在点 a 附近取值可能性的一个度量。

  分布函数 F 和密度函数 f 之间的关系可以表示为

F(a)=P{X(,a]}=af(x)dx

对上式两边求导,得

ddxF(a)=f(a)

即密度函数是累计分布函数的导数。

2. 连续型随机变量的期望和方差

  前文中,将离散型随机变量的期望定义如下

E[X]=xxP{X=x}

如果 X 是一个连续型随机变量,密度函数为 f(x),则对于很小的 dx

f(x)dxP{xXx+dx}

于是可以用类似的方法定义连续型随机变量的期望为

E[X]=xf(x)dx

  类似于离散型随机变量,对于连续型随机变量,也有如下结论成立。

  命题 设 X 是一个连续型随机变量,其概率密度函数为 f(x),那么对于任一实值函数 g,有

E[g(X)]=g(x)f(x)dx

  引理 对于一个非负随机变量 Y,有

E[Y]=0P{Y>y}dy

  推论 如果 ab 都是常数,那么

E[aX+b]=aE[X]+b

  连续型随机变量的方差的定义也和离散型随机变量一样,如果 X 是一个连续型随机变量,期望值为 μ,则 X 的方差定义为

Var(X)=E[(Xμ)2]

另一种定义公式为

Var(X)=E[X2](E[X])2

  对于常数 ab,有

Var(aX+b)=a2Var(X)