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概率论 Cheat Sheet 6:伯努利随机变量和二项随机变量

  对于结果只有成功或失败的试验,令

X={10

X 的分布列为

\begin{align} &p(0) = P\{X = 0\} = 1 – p \\ &p(1) = P\{X = 1\} = p \tag{1} \end{align}

其中 p0 \leq p \leq 1)是每次试验成功的概率。

  如果随机变量 X 的分布列由式 (1) 给出,其中 p \in (0, 1),则称 X伯努利随机变量

  现在假设进行 n 次独立重复试验,每次试验成功的概率为 p,失败的概率为 1 – p,如果 X 表示 n 次试验中成功的次数,则 X 称为参数是 (n, p)二项(Binomial)随机变量。伯努利随机变量可以看成是参数为 (1, p) 的二项随机变量。

  参数为 (n, p) 的二项随机变量的分布列为

\begin{equation} p(i) = \binom{n}{i} p^i (1 – p)^{n – i} \qquad i = 0, 1, \cdots, n \tag{2} \end{equation}

1. 二项随机变量的性质

  对于参数为 (n, p) 的二项随机变量 X,计算 X^k 的期望为

\begin{equation} E[X^k] = \sum_{i=0}^n i^k \binom{n}{i} p^i (1 – p)^{n – i} = \sum_{i=1}^n i^k \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \end{equation}

由恒等式

\begin{equation} i \binom{n}{i} = n \binom{n – 1}{i – 1} \end{equation}

\begin{align} E[X^k] &= np \sum_{i=1}^n i^{k-1} \binom{n-1}{i-1} p^{i-1} (1-p)^{n-i} \\ &= np \sum_{j=0}^{n-1} (j+1)^{k-1} \binom{n-1}{j} p^j (1-p)^{n-1-j} \qquad 令 \; j = i – 1 \\ &= np E[(Y+1)^{k-1}] \tag{3} \end{align}

其中 Y 是一个参数为 (n-1, p) 的二项随机变量。

  在 (3) 式中,令 k = 1,可得 X 的期望为

\begin{equation} E[X] = np \tag{4} \end{equation}

  在 (3) 式中,令 k = 2,可得 X^2 的期望为

\begin{equation} E[X^2] = np E[Y +1] = np[(n-1)p + 1] \end{equation}

Var(X) = E[X^2] – (E[X])^2,得到 X 的方差为

\begin{equation} Var(X) = np(1-p) \tag{5} \end{equation}

  考虑 P\{X = k\}P\{X = k – 1\} 的大小关系,计算

\begin{equation} \frac{P\{X = k\}}{P\{X = k – 1\}} = \frac{\frac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k}}{\frac{n!}{(n-k +1)!(k-1)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}} = \frac{(n-k+1)p}{k(1 – p)} \tag{6} \end{equation}

因此 P\{X = k\} \geq P\{X = k – 1\} 当且仅当

\begin{equation} (n – k + 1)p \geq k(1 – p) \end{equation}

\begin{equation} k \leq (n + 1)p \end{equation}

  命题 如果 X 是一个参数为 (n, p) 的二项随机变量,其中 0 < p < 1。那么当 k0n 时,P\{X = k\} 一开始单调递增,然后一直单调递减,当 k = \lfloor(n + 1)p\rfloor 时取得最大值。

2. 计算二项分布函数

  设 X 是一个参数为 (n, p) 的二项随机变量,分布函数

\begin{equation} P\{X \leq i\} = \sum_{k=0}^i \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \qquad i = 0, 1, \cdots, n \tag{7} \end{equation}

通过式 (6),可以得到 P\{X = k +1\}P\{X = k\} 之间的递推关系

\begin{equation} P\{X = k +1\} = \frac{p}{1 – p} \frac{n – k}{k + 1} P\{X = k\} \tag{8} \end{equation}