概率论 Cheat Sheet 4:独立事件

1. 独立事件

  在已知 $F$ 发生的条件下,$E$ 发生的条件概率 $P(E|F)$ 通常不等于 $E$ 发生的非条件概率 $P(E)$,即知道了 $F$ 的发生通常会改变 $E$ 发生的概率。如果已知 $F$ 发生并不影响 $E$ 发生的概率,即 $P(E|F) = P(E)$,则称 $E$ 和 $F$ 是独立的。

  由 $P(E|F) = \frac{P(EF)}{P(F)}$,如果

\begin{equation}
P(EF) = P(E)P(F) \tag{1}
\end{equation}

则 $E$ 和 $F$ 独立。式 $(1)$ 关于 $E$ 和 $F$ 是对称的,只要 $E$ 和 $F$ 独立,则 $F$ 和 $E$ 也独立。

  定义 对于两个事件 $E$ 和 $F$,若有 $P(EF) = P(E)P(F)$,则称它们是独立的(Independent),若两个事件 $E$ 和 $F$ 不独立,则称它们是相依的(Dependent),或者相互不独立

  如果 $E$ 和 $F$ 独立,由 $E = EF \bigcup EF^c$,及 $EF$ 和 $EF^c$ 互不相容,有

\begin{equation}
P(E) = P(EF) + P(EF^c) = P(E)P(F) + P(EF^c)
\end{equation}

从而得到

\begin{equation}
P(EF^c) = P(E) – P(E)P(F) = P(E)[1 – P(F)] = P(E)P(F^c)
\end{equation}

于是有如下命题成立。

  命题 如果 $E$ 和 $F$ 独立,那么 $E$ 和 $F^c$ 也独立。

  上述命题说明,如果 $E$ 和 $F$ 是独立的,那么无论得知 $F$ 发生的信息,还是得知 $F$ 不发生的信息,$E$ 发生的概率都是不变的。

  注意如果 $E$ 既和 $F$ 独立,又和 $G$ 独立,那么 $E$ 并不一定与 $FG$ 独立。例如 $E$ 表示“骰子点数之和为 $7$”,$F$ 表示“第一枚骰子点数为 $4$”,$G$ 表示“第二枚骰子点数为 $3$”,可知 $E$ 和 $F$、$E$ 和 $G$ 是独立的,但 $P(E|FG) = 1$,即 $E$ 和 $FG$ 是不独立的。

  三个事件的独立性要比要求所有 $\binom{3}{2}$ 对事件的独立更强。

  定义 对于三个事件 $E$、$F$ 和 $G$,如果

\begin{align}
P(EFG) &= P(E)P(F)P(G) \\
P(EF) &= P(E)P(F) \\
P(EG) &= P(E)P(G) \\
P(FG) &= P(F)P(G)
\end{align}

则称这三个事件是独立的。

  注意如果 $E$、$F$ 和 $G$ 是独立的,那么 $E$ 与 $F$ 和 $G$ 的任意组合事件都是独立的,例如 $E$ 和 $F \textstyle \bigcup G$ 是独立的。

  对于 $n$ 个事件 $E_1, E_2, \cdots, E_n$,如果对于这些事件的任意子集 $E_{1′}, E_{2′}, \cdots, E_{r’}$($r’ \leq n$),都有

\begin{equation}
P(E_{1′}, E_{2′}, \cdots, E_{r’}) = P(E_{1′}) P(E_{2′}) \cdots P(E_{r’})
\end{equation}

则 $E_1, E_2, \cdots, E_n$ 称为是独立的。

  如果对于无限个事件的任意有限个子集都是独立的,则称这无限个事件是独立的。

  有时候,所考虑的概率试验由一系列子试验构成(如连续投掷一枚硬币,可将每一次投掷看做一次子实验),且假定任一组子试验的结果不影响其他子试验的结果是合理的,此时,称这些子试验是独立的。更确切地,记第 $i$ 次子试验的结果为 $E_i$,如果事件序列 $E_1, E_2, \cdots, E_n, \cdots$ 是独立的,那么这一系列子试验是独立的。

  如果各个子试验彼此相同,即各个子试验有相同的(子)样本空间和相同的事件概率函数,则称这些试验为重复试验。

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