Deep Learning Note: 4-5 卷积神经网络案例分析（3）
3. 1 乘 1 卷积
在进行卷积时，对于只有 1 个通道的输入，如果参与卷积的过滤器的尺寸为 $1 \times 1$，则只相当于将输入乘以一个固定的系数，如图 1 所示。
图 1
而对于有 $n$ 个通道的输入，如果参与卷积的过滤器尺寸为 $1 \times 1 \times n$，则相当于将输入中每个位置上的 $n$ 个值与过滤器中的 $n$ 个值依次相乘再求和，如图 2 所示。
图 2
此时这个 $1 \times 1 \times n$ 卷积层就相当于一个神经元，它以输入数据中同一位置上各通道的 $n$ 个值作为输入，输出一个激活值。如果有多个过滤器，则相当于有多个神经元。
像上面这样的 $1 \times 1 \times n$ 卷积有时也称为网络中的网络（Network in Network）。$1 \times 1 \times n$ 卷积可以为网络加入非线性，并且能够调整数据的通道数。
$1 \times 1 \times n$ 卷积可以缩小数据的通道数。如对于图 3 所示的 $28 \times 28 \times 192$ 的数据，通过 32 个 $1 \times 1 \times 192$ 的过滤器卷积，结果的大小为 $28 \times 28 \times 32$，数据的通道数从 192 缩小到 32，高度和宽度保持不变（相比之下，池化层保持通道数，缩小高度和宽度）。
图 3
如果想保留通道数，则可以使用 192 个 $1 \times 1 \times 192$ 的过滤器，结果的大小与输入相同，都是 $28 \times 28 \times 192$，此时这个 $1 \times 1 \times n$ 卷积的作用是引入一些非线性，使得网络能够学习更复杂的函数。另外，使用更多的过滤器，还可以增加数据的通道数。
4. Inception 层
在设计卷积神经网络中的各层时，我们面临很多选择，例如使用什么尺寸的过滤器，使用卷积层还是池化层等等。Inception 网络通过在一层中同时使用多种结构，获得更好的性能。
图 4 展示了一个 Inception 层的结构：
图 4
在这一个 Inception 层中，输入数据的大小为 $28 \times 28 \times 192$，其中使用了：
- 64 个 $1 \times 1$ 过滤器，卷积结果的大小为 $28 \times 28 \times 64$，如图中绿色方块；
- 128 个 $3 \times 3$ 过滤器，Same Padding，卷积结果的大小为 $28 \times 28 \times 238$，如图中蓝色方块；
- 32 个 $5 \times 5$ 过滤器，Same Padding，卷积结果的大小为 $28 \times 28 \times 32$，如图中紫色方块；
- 一个最大池化层，Same Padding，Stride = 1，池化结果再通过一层 $1 \times 1$ 卷积缩小通道数，最终结果的大小为 $28 \times 28 \times 32$，如图中黄色方块。
最后将上面四层的结果拼接起来，得到该 Inception 层的输出，其大小为 $28 \times 28 \times 256$。由于这里要进行拼接操作，所以要求其中各层输出的高度和宽度要一致，如上面第 2 和 第 3 各卷积层使用了 Same Padding 保证输入和输出具有相同的高度和宽度；虽然池化层通常不使用 Padding，但这里为了保证池化层的输入和输出也具有相同的高度和宽度，对池化层也使用了 Same Padding，且 Stride 为 1。
Inception 层中使用了各种各样的层，并将所有结果拼接在一起，由网络通过学习自主选择要使用什么样的层及其组合，不再需要人工进行选择。但这也带来一个问题：Inception 层的计算量非常大。
以图 4 中 $5 \times 5$ 的卷积层为例，如图 5 所示：
图 5
图 5 中卷积层的输入大小为 $28 \times 28 \times 192$，使用 32 个 $5 \times 5 \times 192$ 的过滤器进行卷积，输出大小为 $28 \times 28 \times 32$。对每个输出，要计算 $5 \times 5 \times 192$ 次乘法，则总共要计算的乘法次数为（加法次数相比乘法次数非常少，这里只统计乘法次数）：
\begin{equation}
28 \times 28 \times 32 \times 5 \times 5 \times 192 = 120422400 \approx 1.2亿
\end{equation}
虽然从现代的计算能力来看，1.2 亿次计算并不是无法接受，但这还只是图 4 所示的 Inception 层中的一小部分。通过使用 $1 \times 1$ 卷积降低通道数，可以显著降低运算量。
还以图 5 所示的卷积层为例，现在在输入数据后增加一层 $1 \times 1$ 卷积，如图 6 所示：
图 5
图 6
此时 $28 \times 28 \times 192$ 的输入数据通过与 16 个 $1 \times 1 \times 192$ 的过滤器卷积，结果大小为 $28 \times 28 \times 16$，然后再与 32 个 $5 \times 5 \times 16$ 的过滤器卷积，得到 $28 \times 28 \times 32$ 的输出。现在的计算所需的乘法次数为：
\begin{align}
& 28 \times 28 \times 16 \times 1 \times 1 \times 192 + 28 \times 28 \times 32 \times 5 \times 5 \times 16 \\
& = 2408448 + 10035200 \\
& = 12443648 \\
& \approx 0.12亿
\end{align}
可见，图 6 和 图 5 中网络输出数据的大小都是 $28 \times 28 \times 32$，而图 6 中网络的计算量只有图 5 的十分之一。
另外可以注意到，在图 6 所示的网络中，中间 $1 \times 1$ 卷积层输出的通道数最少，因此它有时也被称为 Bottleneck 层，即先将输入数据缩小，然后再放大。虽然 Bottleneck 层大幅减少了通道数，但只要设计合理，就不对性能产生明显影响。
综上所述，Inception 层同时了使用多种层结构，不在需要人工选择，但由此也带来了巨大的计算量。通过 $1 \times 1$ 卷积创建一个 Bottleneck 层，可以大幅降低计算量。
5. Inception Network
Inception Network 由多个 Inception Module 组成，对于如图 4 所示的 Inception 层，其对应的 Inception Module 结构如图 7 所示。
图 7
可以看到，中间的两个卷积层都先通过 $1 \times 1$ 卷积降低通道数，由此降低计算量。最上面的卷积层使用 $1 \times 1$ 的过滤器，没有必要再在前面添加 $1 \times 1$ 卷积。最下面的池化层使用 Same Padding，Stride = 1，保证输出数据的高度和宽度与输入相同，然后再通过一个$1 \times 1$ 卷积降低通道数。最后，所有结果都拼接在一起，作为这个 Inception Module 的输出。
将多个 Inception Module 组合起来，就构成了一个 Inception Network，图 8 为原论文中给出的一种结构。
图 8
图 8 中，蓝色方块为卷积层，红色方块为池化层。网络中使用了很多相同的 Inception Module，各个 Module 之或者间直接连接，或者通过一个池化层来调整数据尺寸。
另外，可以注意到图 8 中的网络中有两个分支，如图 9 中红框所示。这些分支获取了网络中隐藏层的输出，并以此进行预测。这样做是为了确保网络中间的一些特征也足以进行一定程度的预测，可以起到正则化的效果。
图 9
自提出以来，Inception Network 出现了很多变种，比如 Inception V2、Inception V3、Inception V4 等等；还有的网络结合了 ResNet，在 Inception Network 使用 Skip Connection。
值得一提的是，Inception Network 的原论文中引用了 “We Need to Go Deeper” 的梗（图 9），表示要建造更深层网络，还在参考文献中给出了引用链接，Inception 的名字就由此而来。
图 9