1. $\mathrm{MA}(q)$ 的可逆性 　　前文讨论了可逆性的一般形式。特殊地，对于 $\mathrm{MA}(q)$ 过程 \begin{equation} X_t = e_t + \theta_1 e_{t-1} + \theta_2 e_{t-2} + \cdots + \theta_q e_{t-q} \tag{1} \end{equation} 即 \begin{equatio…
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1. 数列 　　数列是一列有序的数，可以包含有限项或无限项（无穷数列）。例如 $1, 2, 3, \cdots$ 就是一个无穷数列。通常使用角标表示数列中的某一项，例如 $a_1$ 表示第一项，$a_2$ 表示第二项，等等。 　　对于无穷数列，我们通常会关心当项数不断增加时数列的值具有的特征，即 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n$ 是否存在，以及存在时…
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1. 为什么需要平稳性 　　时间序列随机过程的一个实现，对随机过程的分析，往往涉及研究随机过程中各个随机变量的联合概率分布。当随机变量数量较少时，研究联合概率分布可能还相对简单；而对于时间序列，往往需要研究很长一段时间的历史数据，其中每一个数据点都是一个随机变量，要研究这些随机变量的联合分布就非常困难了。 　　另一方面，对于时间序列，通常只能观察一次。例如记录每天的平均气温，每天只能观测到一个数值…
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1. 定义 　　如果序列 $\{X_t\}$ 不是平稳的，但它的 $d$ 次差分 \begin{equation} W_t = \nabla^d X_t = (1 – B)^d X_t \tag{1} \end{equation} 是一个平稳的 $\mathrm{ARMA}(p, q)$ 过程 \begin{equation} W_t = \phi_1 W_{t-1} …
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1. 定义 　　如果序列 $\{X_t\}$ 中有一部分是自回归，另一部分是滑动平均，可以得到 \begin{equation} X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + e_t + \theta_1 e_{t-1} + \theta_2 e_{t-2} + \cdots + \theta_q…
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1. 定义 　　$p$ 阶自回归过程 $AR(p)$ \begin{equation} X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + e_t \tag{1} \end{equation} 也可以写为 \begin{equation} X_t – \phi_1 X_{t-1} – \phi_…
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1. 定义 　　对于二阶自回归过程 $AR(2)$ \begin{equation} X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + e_t \tag{1} \end{equation} 假设 $e_t$ 独立于 $Y_{t-1}, Y_{t-2}, \cdots$。式 $(1)$ 也可以表示为 \begin{equation} X_t – \phi_1…
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1. 自回归过程 　　自回归过程使用自身作为回归变量，定义 \begin{equation} X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} +\cdots + \phi_p X_{t-p} + e_t \tag{1} \end{equation} 为 $p$ 阶自回归过程（Autoregressive Process），记做 $AR(p)$。序列 $X_t$ 的当前值…
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1. 定义 　　设 $\{e_t\}$ 是均值为零，方差为 $\sigma_e^2$ 的白噪声，则称 \begin{equation} X_t = e_t + \theta_1 e_{t-1} + \theta_2 e_{t-2} + \cdots + \theta_q e_{t-q} \tag{1} \end{equation} 为 $q$ 阶滑动平均过程（Moving Aver…
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